一、弹性力学平面问题的基本方程
真实的弹性体都是空间物体,但当其形状和受力情况具有某些特点时,在数学上可按平面问题处理。平面问题分为平面应力问题和平面应变问题,两种平面问题的基本未知量、平衡微分方程、几何方程是相同的。
1.平衡微分方程
如不计体力,弹性力学平面问题的平衡微分方程如式(2-1)所示:
岩石断裂与损伤
式中:σx、σy、τxy分别为正应力和切应力分量。
2.几何方程
设平面内一点在x、y方向的位移分量为u、v;应变分量为εx、εy、γxy。则应变与位移的关系即几何方程,如式(2-2)所示:
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3.物理方程(本构方程)
平面应力问题和平面应变问题的物理方程(或称为本构方程)不同,对于平面应力问题,在弹性范围内,应力与应变关系如式(2-3)所示:
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式中:E为材料的弹性模量;μ为泊松比;G为剪切弹性模量。对于平面应变问题,应将上式中的E、μ进行如下代换:
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为求解上述方程,可采用位移法或应力法。将应力作为基本未知量求解弹性力学问题的方法称为应力法。
二、Airy应力函数法
众多学者研究过弹性力学问题的解。1863年,Airy给出一种解为
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将式(24)代入式(21),不难验证它满足平衡微分方程。式(24)中ψ(x,y)称为Airy应力函数。为使应力函数ψ(x,y)满足其他方程,ψ(x,y)还必须满足变形协调条件:
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即ψ(x,y)为双调和函数,如果找到应力函数,通过应力边界条件确定应力分量中的待定常数,然后由物理方程求应变分量,再由几何方程求位移分量。
三、Westergaard应力函数法
1939年,H.M.Westergaard在《Bearing pressures and cracks》中提出下列复变应力函数:
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式中:分别是解析函数Z=Z(z)的一次积分和二次积分,即
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显然,也是解析函数。式中:z=x+iy,其中x、y都是实变数,表示单元体的位置坐标。为了以后应用的方便,下面简要介绍一下有关复变函数的一些性质。
如z=x+iy是一个复变数,则Z(z)=ReZ(z)+iImZ(z)为复变函数。若Z(z)为解析函数,即复变函数Z(z)在某区域上处处可导。则必须满足柯西-黎曼条件(Cauchy-Riemann):
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可以证明:
(1)如Z(z)为解析函数,则:▽2ReZ=0,▽2ImZ=0。
即:任何复变解析函数及其实部与虚部都满足调和方程,它们都是调和函数。
(2)Z(z)可导,则有
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(3)如Z(z)为解析函数,则
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根据复变函数的性质,可以证明式(2 6)所示的ψ是否可以作为应力函数,即证明ψ是否满足双调和方程:
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因为Z为调和函数,故
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因为Z为调和函数,
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故ψ可作为应力函数。相应的应力分量为
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将式(2-7)代入式(2-3)得
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故
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同理可得y方向的位移分量v。位移分量u、v为
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