数学 基本不等式

Question

若a,b,c>0,且a^2+2ab+2ac+4bc=12,则a+b+c的最小值是？（请写出详细的思考过程）

Answer 1

题给条件是二次式，而所要求的结果是一次的，所以先考虑将一次的化为二次的。设t=a+b+c
则t^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca
由均值不等式：b^2+c^2>=2bc
于是t^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca>=a^2+2ab+2ac+4bc=12
即t^2>=12
所以t>=2√3
a+b+c的最小值是2√3

Answer 2

a^2+2ab+2ac+4bc=a^2+2ab+2ac+2bc+(b^2+c^2-b^2-c^2)+2bc(括号部分加b平方加c平方，然后再减b平方减c平方，相当于无加无减）=a^2+2ab+2ac+2bc+b^2+c^2-（b^2+c^2-2bc)=(a+b+c)^2-(b-c）^2=12
（a+b+c)^2=12+(b-c）^2，所以最小值是当（b-c）^2=0时，（a+b+c)^2=12
a+b+c=根号12=2√3.
（a，b，c>0，所以负根号12不合格）