等比数列的中项公式是：$a_{n}^{2} = a_{m} \cdot a_{k}$，其中$a_{n}$是第$n$项，$a_{m}$和$a_{k}$是数列中的任意两项，且$m+k=2n$。
等比数列是一种特殊的数列，其中任意两项的比值都相等。中项公式是等比数列的一个重要性质，它描述了等比数列中任意三项之间的关系。具体来说，如果$a_{m}$、$a_{n}$和$a_{k}$是等比数列中的三项，且$m+k=2n$，那么这三项之间的关系就可以用中项公式来表示，即$a_{n}^{2} = a_{m} \cdot a_{k}$。
这个公式可以通过等比数列的定义来证明。假设等比数列的公比为$q$，那么$a_{n} = a_{1}q^{n-1}$，$a_{m} = a_{1}q^{m-1}$，$a_{k} = a_{1}q^{k-1}$。根据中项公式，我们有$a_{n}^{2} = a_{m} \cdot a_{k}$，代入上述表达式，得到$(a_{1}q^{n-1})^{2} = a_{1}q^{m-1} \cdot a_{1}q^{k-1}$。化简后，得到$a_{1}^{2}q^{2n-2} = a_{1}^{2}q^{m+k-2}$，由于$m+k=2n$，所以等式成立。
中项公式在解决等比数列的问题时非常有用。例如，如果我们知道等比数列的第一项和第四项，就可以利用中项公式求出第三项。同样，如果我们知道等比数列的第二项和第五项，也可以利用中项公式求出第四项。此外，中项公式还可以用于判断一个数列是否为等比数列。如果一个数列中任意三项都满足中项公式，那么这个数列就是等比数列。
总之，等比数列的中项公式是$a_{n}^{2} = a_{m} \cdot a_{k}$，它描述了等比数列中任意三项之间的关系。这个公式在解决等比数列的问题时非常有用，可以帮助我们快速求出数列中的某一项，或者判断一个数列是否为等比数列。
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