反三角函数导数推导过程

Question

如题所述

Answer 1

反三角函数导数的推导过程如下：
1. 反三角函数是指三角函数的反函数，它们包括反正弦函数（arcsinx）、反余弦函数（arccosx）、反正切函数（arctanx）等。由于三角函数是周期性的，反三角函数是多值函数。
2. 反三角函数的导数公式如下：
- d/dx(arcsinx) = 1 / √(1 - x^2)；x ≠ ±1
- d/dx(arccosx) = -1 / √(1 - x^2)；x ≠ ±1
- d/dx(arctanx) = 1 / (1 + x^2)；x ≠ ±i
- d/dx(arccotx) = -1 / (1 + x^2)；x ≠ ±i
3. 反三角函数导数公式的推导过程是利用微分的基本定理，即 dy/dx = 1 / (dx/dy)，并通过适当的变量替换来实现的。例如，对于正弦函数 y = sin(x)，其导数为 dy/dx = cos(x)，因此 dx/dy = 1 / cos(x)。由于 cos(x) = √(1 - sin^2(x)) = √(1 - y^2)，所以 dx/dy = √(1 - y^2)。由于 y = sin(x)，我们可以得到 x = arcsin(y)，因此 dx/dy = 1 / √(1 - y^2)。因此，arcsin(x) 的导数就是 1 / √(1 - x^2)。
4. 反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等，它们分别表示正弦、余弦、正切函数值为 x 的角。这些函数是多值的，因为它们不满足一个自变量对应一个函数值的要求，它们的图像与原函数关于函数 y = x 对称。欧拉首次提出反三角函数的概念，并采用“arc+函数名”的形式来表示它们。