古今中外极限思想的发展历程如下：
极限的思想是近代数学的一种重要思想。它可以追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用，通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的周长无限接近圆的周长，进而求得较为精确的圆周率。
古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于反证法来完成了相关的证明。极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相关的。最初，牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，后来因遇到了逻辑上的困难，在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想。
但牛顿的极限观念仍是建立在几何直观上的，没有得出极限的严格表述。他所运用的极限概念，只是接近于下列直观性的语言描述：“如果当n无限增大时，无限地接近于常数A，那么就说以A为极限。”由于缺乏严格的极限定义，无穷小量的概念模糊，使得微积分的理论基础并不牢固。在微积分大范围应用的同时，关于微积分基础的问题也越来越严重。
关键问题是无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论。其中英国哲学家、大主教贝克莱对微积分的攻击最为激烈，他称牛顿定义的流数（即导数）为“消失的量的鬼魂”。由此引发了第二次数学危机。
到了19世纪，法国数学家柯西在前人工作的基础上，比较完整地阐述了极限概念及其理论，他在《分析教程》中指出：“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值，特别地，当一个变量的数值（绝对值）无限地减小使之收敛到极限0，就说这个变量成为无穷小。”
柯西把无穷小视为以0为极限的变量，这就澄清了无穷小“似零非零”的模糊认识。这就是说，在变化过程中，它的值可以是非零，但它变化的趋向是零，可以无限地接近于零。柯西试图消除极限概念中的几何直观，作出极限的明确定义。
后来，魏尔斯特拉斯在前人工作的基础上消除了其中不确切的地方，给出现在通用的极限定义（即“称数列{xn}以a为极限，如果对任何ε>0，总存在正整数N，使得当n>N时， |xn-a|<ε不等式恒成立）、连续的定义，并把导数、积分严格地建立在极限的基础上，从而给微积分提供了严格的理论基础。
极限思想：
极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论（包括级数）为主要工具来研究函数的一门学科。
所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。
极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。如果要问：“数学分析是一门什么学科？”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”。