夹逼定理：又称两边夹定理、夹逼准则、夹挤定理，是判定极限存在的两个准则之一，是函数极限的定理。
一、如果数列{Xn}，{Yn}及{Zn}满足下列条件。
（1）当n>N0时，其中N0∈N*，有Yn≤Xn≤Zn。
（2）{Yn}、{Zn}有相同的极限a，设-∞<a<+∞。
则，数列{Xn}的极限存在，且当n→+∞，limXn=a。
证明：因为limYn=a，limZn=a，所以根据数列极限的定义，对于任意给定的正数ε，存在正整数N1、N2，当n>N1时，有〡Yn-a∣﹤ε，当n>N2时，有∣Zn-a∣﹤ε，现在取N=max{No，N1，N2}，则当n>N时，∣Yn-a∣<ε、∣Zn-a∣<ε同时成立，且Yn≤Xn≤Zn，即a-ε<Yn<a+ε，a-ε<Zn<a+ε，又因为a-ε<Yn≤Xn≤Zn<a+ε，即∣Xn-a∣<ε成立。也就是说limXn=a。
二、F(x)与G(x)在Xo连续且存在相同的极限A，即x→Xo时,limF(x)=limG(x)=A。
则若有函数f(x)在Xo的某邻域内恒有F(x)≤f(x)≤G(x)。
则当X趋近Xo,有limF(x)≤limf(x)≤limG(x)，即A≤limf(x)≤A。故limf(Xo)=A。
简单的说：函数A>B,函数B>C，函数A的极限是X，函数C的极限也是X，那么函数B的极限就一定是X，这个就是夹逼定理。
拉格朗日定理：
数论：
1.内容：四平方和定理（Lagrange's four-square theorem） 说明每个正整数均可表示为4个整数的平方和。它是费马多边形数定理和华林问题的特例。注意有些整数不可表示为3个整数的平方和，例如7。
2.历史：1743年，瑞士数学家欧拉发现了一个著名的恒等式：根据上述欧拉恒等式或四元数的概念可知如果正整数和能表示为4个整数的平方和，则其乘积也能表示为4个整数的平方和。于是为证明原命题只需证明每个素数可以表示成4个整数的平方和即可。
1751年，欧拉又得到了另一个一般的结果。即对任意奇素数，同余方程必有一组整数解满足，（引理一）。至此，证明四平方和定理所需的全部引理已经全部证明完毕。此后，拉格朗日和欧拉分别在1770年和1773年作出最后的证明。