正交矩阵可以上三角化吗

Question

如题所述

Answer 1

上边大哥说的是对的,我来稍微完善解释一下:
第一,任意一个特征值均为实数的矩阵A均可以正交相似上三角化,
即存在正交矩阵P使得P'AP为一个上三角阵且对角线上为n个特征值.记其为C

第二,由于正交方阵的特殊性A'A=AA'(这个叫做规范性),就可以推出来CC'=C'C,由此知C不只是上三角阵更是对角阵,对角线上为A的n个特征值.
因此A=PCP',A'=PC'P'=PCP',故A=A'.

第一的上三角化是递归证法,若x为属于a的特征向量Ax=ax,则做正交矩阵P=(x,...)把除去x的其他列向量任一补上,只要满足P正交就行.就会看到P'AP是一个第一列是(a,0.....0)的向量记A1为其除去第一行第一列的矩阵,再对A1如上,往复进行则得结论.(这是思路,具体可以看张贤科<高等代数学>284页)
第二的对角化是要将上三角阵C分块 先分成四块,然后做乘法,就会发现第二块等于0.这就证明了第一行除对角线外其他为0 ,依次同理可证明第二行直至第n行(张贤科<高等代数学>286页)

你这个可以直接套张贤科那本书的定理 定理在286页.我这是详细的说说思路.可以在网上下一本,自己看.