通解和基础解系的关系是通解是基础解系的线性组合。
一、通解和基础解系的定义：
1、通解：通解（通解也叫做一般解）是指含有任意常数，且常数个数和微分方程阶数相同的解。
2、基础解系：基础解系是指方程组的解集的极大线性无关组，即若干个无关的解构成的能够表示任意解的组合。
二、通解和基础解系的性质：
1、通解：
通解可以表示一个微分方程的所有解的集合，它可以包含参数或任意常数。
对于一个微分方程而言，其解往往不止一个，而是有一组，可以表示这一组中所有解或者部分解的统一形式，这就是所谓的通解。
对于一个微分方程而言，其解会包括一些常数，对于n阶微分方程，它的含有n个独立常数的解称为该方程的通解。
2、基础解系：
基础解系中所有量均是方程组的解。
基础解系线性无关，即基础解系中任何一个量都不能被其余量表示。
方程组的任意解均可由基础解系线性表出，即方程组的所有解都可以用基础解系的量来表示。
基础解系不是唯一的，因个人计算时对自由未知量的取法而异。
通解和基础解系的应用领域
1、线性方程组求解：
通解和基础解系可以用来构造线性方程组的通解，解决各种实际问题。例如，在物理学中可以用来描述物体的运动状态，在经济学中可以用来描述商品的市场价格等等。
2、图像处理：
通解和基础解系在图像处理领域也有应用，例如在图像增强、图像恢复和图像分割等方面，可以通过求解线性方程组来达到一定的处理效果。
3、密码学：
在密码学中，可以利用通解和基础解系来构造一些加密算法和解密算法，例如基于矩阵的加密算法等。
4、工程领域：
在工程领域中，通解和基础解系的应用也是非常广泛的，例如在电路分析、机械振动分析、控制系统分析等方面，可以通过求解线性方程组来得到各个节点的电压和电流、物体的受力情况等。
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