罗尔定理成立的三个条件

Question

如题所述

Answer 1

罗尔定理成立的三个条件为在闭区间a到b上连续；在开区间a到b上内可导；a点的函数值等于b点的函数值。

罗尔（Rolle）中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他两个分别为：拉格朗日Lagrange中值定理、柯西Cauchy中值定理。因为函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，所以存在最大值与最小值，分别用M和m表示。

1、证明过程

若M=m，则函数f(x)在闭区间[a,b]上必为常函数，结论显然成立。若M>m，则因为f(a)=f(b)使得最大值M与最小值m至少有一个在(a,b)内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件f(x)在开区间(a,b)内可导得，f(x)在ξ处取得极值。

由费马引理，可导的极值点一定是驻点，推知：f'(ξ)=0。若M>m，不妨设f(ξ)=M，ξ∈(a,b)，由可导条件知，f'(ξ+)<=0，f'(ξ-)>=0，又由极限存在定理知左右极限均为0，得证。

2、几何意义

若连续曲线y=f(x)在区间[a,b]上所对应的弧段AB，除端点外处处具有不垂直于x轴的切线，且在弧的两个端点A,B处的纵坐标相等，则在弧AB上至少有一点C，使曲线在C点处的切线平行于x轴。

扩展知识：

微分是一个变量在某个变化过程中的改变量的线性主要部分。微积分的基本概念之一。中世纪时期，欧洲科学发展停滞不前，人类对无穷、极限和积分等观念的想法都没有什么突破。中世纪以后，欧洲数学和科学急速发展，微积分的观念也于此时趋于成熟。

Answer 2

简单分析一下，答案如图所示