初三关于圆的几何问题。

Question

在正方形ABCD中，点E在CD上，且CE=1/4CD，连接AE。

图：http://hi.baidu.com/mua%C9%B2_%CC%E1%D7%D3/album/item/b70fca59538047ee9c820499.html

1）求证：以AE为直径的圆O必过点D，且圆O与BC相切
2）以BC为直径的圆O与AE有怎样的位置关系？ 为什么？
我也知道要连接、要做垂线。
第一问的前半部分我会证，但是那个圆O与BC相切不会证。

Answer 1

解：设正方形ABCD的边长为4a
∵CE=1/4CD
∴CE=a，DE=3a
根据勾股定理：AE=5a
(1)∵O为AE中点，即：圆O的半径r=5a/2
连接OD
∵∠D=90°
∴OD=1/2•AE=r=5a/2
即：D在圆O上
∴以AE为直径的圆O必过点D

过O作OM⊥BC，垂足M
∴OM‖CD
∵O为AE中点
∴OM为梯形ABCE的中位线
∴OM=1/2(AB +CE)=5a/2=r
即：OM为圆O的半径
∴圆O与BC相切

（2）取BC中点N，过N作NF⊥AE，垂足F
连接AN、EN
∵梯形ABCE的面积=△ABN的面积+△ANE的面积+△CNE的面积
∴1/2•(AB+CE) •BC=1/2•AB•BN+1/2•CN•CE+1/2•AE•NF
∴NF=2a=1/2•BC
即：F在圆N上
∴以BC为直径的圆O与AE位置关系是相切

Answer 2

取AE中点F，过F做BC垂线BH，H为垂足
由于直径所对的圆周角为90度
∠D=90度
所以以AE为直径的圆O必过点D
设CE=a，则DE=3a，AD=CD=4a
所以AE=5a，半径FE=5a/2
FH为梯形的中位线
所以FH=（AB+CE）/2=（4a+a）/2=5a/2
即FH=半径FE，且FH⊥BC
所以圆O与BC相切

H为BC为直径的圆的圆心
过H做HG⊥AE于G
可求得HG=2a
即HG=半径HC
所以以BC为直径的圆O与AE相切

Answer 3

12

Answer 4

1.
设CE=1，则AD=CD=4，DE=3
连接DO，作OM⊥BC于点M
根据勾股定理可得AE=5
∵O是AE中点
∴DO=2.5
∴以AE为直径的圆，一定经过点D
2.
∵CE=1，AB=4，OM是梯形ABCE的中位线
∴OM=5
作MN⊥AE于点N
易证△OMN∽△ADE
∴MN/OM=AD/AE
即MN/2.5=4/5
∴MN=2
∴以BC为直径的圆与AE相切

Answer 5

1、先取AE中点F，过F做BC垂线BH，H为垂足
又∵直径所对的圆周角为90度
∠D=90度
∴以AE为直径的圆O必过点D
设CE=x，则DE=3x，AD=CD=4x
∴AE=5x，半径FE=5x/2
FH为梯形的中位线
所以FH=（AB+CE）/2=（4x+x）/2=5x/2
即：FH=半径FE，且FH⊥BC
所以圆O与BC相切

2、H为BC为直径的圆的圆心
过H做HG⊥AE于G
可求得HG=2x
即：HG=半径HC
∴以BC为直径的圆O与AE相切

Answer 6

1. 首先，由于△ADE是直角三角形，所以以AE为直径的圆过点D

设CE＝a，则CD＝4a，即正方形边长为4a

则DE＝3a，因此由勾股定理知，AE^2＝AD^2＋DE^2＝(4a)^2＋(3a)^2＝25a^2

所以AE＝5a，因此以AE为直径的圆，其半径为5a/2

设AE中点为M，过点M作取的垂线，垂足为N，则MN为梯形ABCE的中位线

即有MN＝（AB＋CE）/2＝（4a＋a）/2＝5a/2，所以点ND在以AE为直径的圆上

而又MN⊥BC，所以BC与以AE为直径的圆相切

2. 如图，过N作AE的垂线，垂足为G，并处长NM交AD于点F，则由MN⊥BC知FN⊥AD，且F是AD的中点

则由AM＝MN＝AE/2，∠AMF＝NFG知，Rt△AFM≌Rt△NGM

所以NG＝AF＝AD/2＝BC/2

所以AE与以BC为直径的圆相切