实对称矩阵一定满秩吗

Question

如题所述

Answer 1

实对称矩阵在数学中扮演着关键角色，因其对角化和正交对角化特性备受瞩目。本文探讨的核心问题是：实对称矩阵是否一定满秩。答案是肯定的，除非它是零矩阵。

首先，回顾实对称矩阵的定义，即矩阵与其转置相等（$A=A^T$），且元素为实数。这些矩阵拥有对角化的能力，其特征值构成的向量组是正交的，且对角化可以通过正交变换实现。

秩是矩阵的一个关键属性，表示行向量或列向量的最大线性无关集合的元素数量。对于实对称矩阵，其秩等于特征值的数量，因为没有虚特征值存在。如果特征值全为非零，那么矩阵的秩就等于矩阵的阶数，即满秩。

举例来说，考虑矩阵$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\\\
2 & 4 & 5 \\\\
3 & 5 & 6 \\\\
\end{bmatrix} $$，其特征值为$0,1,10$，对应的特征向量线性无关，证明了矩阵是满秩的。总结起来，实对称矩阵满秩的结论对于理解和解决相关问题提供了有力支持。