关于幂级数展开式及其系数的问题,请写详解。谢谢

Question

如题所述

Answer 1

解：分享一种解法。设y=arctan[(x+3)/(x-3)]，则x=0时，y=-π/4。两边对x求导，有y'=-3/(9+x^2)=(-1/3)/[1+(x/3)^2]。

而，当(x/3)^2<1时，1/[1+(x/3)^2]=∑[(-1)^n](x/3)^(2n)。∴y'=-3/(9+x^2)=(-1/3)∑[(-1)^n](x/3)^(2n)。y=∫(0,x)y'dx=(-1/3)∑[(-1/9)^n][x^(2n+1)]/(2n+1)-y丨(x=0)。
∴arctan[(x+3)/(x-3)]=(-1/3)∑[(-1/9)^n][x^(2n+1)]/(2n+1)+π/4，n=0,1，……，∞。∴C3=(-1/3)[(-1/9)^3]/(2*3+1)=1/15309。
供参考。