求一道高中数学应用题的详细解答过程

Question

大兔小兔接力赛跑，起点A到终点B共100米，小兔跑第一棒，大兔在距起点20米同一跑道的指定P点处待跑第二棒，假定两兔赛跑时都是匀速，且它们的速度和为20米/秒，问大兔小兔的速度分别为多少才能最快到达终点，并求此时所用的时间。

Answer 1

解法一：设大兔的速度是x，则小兔的速度为20-x。（0<x<20）
则跑完全程所用的时间t为：[20/(20-x)]+[(100-20)/x]=[20/(20-x)]+[80/x]
即t=[20/(20-x)]+[80/x]。当0<x<20时有：x*(20-x)*t=20*x+80*(20-x)。化简后为：t*x^2-（60+20*t）*x+1600=0。1.
因为x是实数，所以方程1.有实数解.所以判别式大于等于零。
即（60+20*t）^2-4*t*1600>=0。化简后为t^2-10*t+9>=0。所以t<=1或者t>=9。
这里要做一个讨论，因为小兔通过前20米至少需要1秒，所以t>1，故取t>=9。即最快需要9秒到达终点。当t等于9时，9*x^2-240*x+1600=0，解得x=40/3为方程的重根。这里要说明的是：40/3在（0，20）之间。如果x的解不在这个区间，最快时间不能是9秒。你可以自己考虑为什么。

解法二：如果你学习了微积分的话，对函数t=[20/(20-x)]+[80/x]求导数得：
[20/（20-x）^2]-[80/x^2]令其等于零，即[20/（20-x）^2]=[80/x^2]
化简得：1/(20-x)=2/x，解得x=40/3。可以更方便地得到结果，并且不用讨论。

综上所述：大兔速度为40/3，小兔速度为20/3时，能最快到达终点，所用时间为9秒。