高数简单求极限

Question

lim[(3√n^2)*sin n!]/(n+1) n--∞
n的3/2次方乘以sin（ n的阶乘） 除以 n+1 n趋于无穷
谢谢 写出过程

Answer 1

解法一：(定义法)
∵对任意的ε>0,存在N=[1/ε³]（[1/ε³]表示不超过1/ε³的最大整数），当n>N时，
有|n^(2/3)sinn!/(n+1)|≤n^(2/3)/(n+1)＜n^(2/3)/n=n^(-1/3)＜ε
∴根据极限定义，知lim(n->∞)[n^(2/3)sinn!/(n+1)]=0；
解法二：（两边夹法）
∵|n^(2/3)sinn!/(n+1)|≤n^(2/3)/(n+1)
∴-n^(2/3)/(n+1)≤n^(2/3)sinn!/(n+1)≤n^(2/3)/(n+1)
∵lim(n->∞)[n^(2/3)/(n+1)]=lim(n->∞)[(1/n^(1/3))/(1+1/n)]=0
同理lim(n->∞)[-n^(2/3)/(n+1)]=0
∴根据两边夹定理，知lim(n->∞)[n^(2/3)sinn!/(n+1)]=0.

Answer 2

lim [(3√n^2)*sin n!]/(n+1)
=lim [n*n^0.5/(n+1)}*sinn!
=l*lim n^0.5*sinn!
当n趋于无穷，sinn！可正可负，所以极限不存在

Answer 3

解：

分子分母都除以n

原式变为：
lim[n^(-1/3)sinn!/(1+1/n)]

当n→+∞时，n^(-1/3)→0 是无穷小量

而|sinn!|<1是有界量

无穷小量乘以有界量还是无穷小量

∴分子lim n^(-1/3)sinn!=0
分母lim 1+1/n=1

∴原式=lim 0/1=0

极限为0

Answer 4

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