椭球面的方程

Question

如题所述

Answer 1

二次曲面方程不是推导出来的（除了几个旋转曲面外，见【附注】）二次曲面实际上是先有方程，再研究其图形的。根据二次方程 ax^2+by^2+cz^2+px+qy+rz+C=0 进行讨论，对于一次项系数 p，若与它对应的二次项系数 a≠0，则可以通过平移消去 a。对于一次项系数q及r也一样。二次项中一般还有交叉项xy,yz,zx项的，由于在线性代数中可以通过二次型的正交变换消去，所以在高等数学里一开始就没有讨论。所以要讨论的标准型，除了柱面方程外，实际上只有【一】ax^2+by^2+cz^2+C=0，①C≠0，包括椭球面、单叶双曲面、双叶双曲面；②C=0，包括各类锥面；【二】ax^2+by^2+rz+C=0，包括椭圆抛物面，双曲抛物面（马鞍面是外号，不是学名）。其形状是通过截面的截口痕迹（截痕法）来讨论。【附注】①到两个定点距离之和为定值的空间点的轨迹是旋转椭球面；②到两个定点距离之差为定值的空间点的轨迹是旋转双叶双曲面；③到定点和给定平面距离相等的空间点的轨迹是旋转抛物面。在给出数据后，利用距离公式是很容易推导的。