关于微分和不定积分互为逆运算的证明

Question

按照定义来说，不定积分应该是和求导互为逆运算（不管那个常数的话）。
为什么是不定积分是和微分为逆运算。
而且书中的证明也好像不对∫F‘(x)dx中dx只是不定积分的一个符号，dF(x)=F'(x)dx中dx却是有意义一个因子。
为什么证明中直接乘在一起？

Answer 1

一开始就定义∫f（x）dx=F（x）+C的原因是假设我们把不定积分里面的dx看成微分的话就可以得到一个结果即∫f（x）dx=∫dF（x）=F（x）+C

这样的话虽然在不定积分里面dx没有实际意义，可正是由于这样的定义带来了一个好处，就是似乎∫和d为互逆运算，减少了思维过程。
实际上不定积分中dx并没有实际意义，仅仅是一个记号。只不过我们这样定义的时候在求不定积分会简便很多
比如∫xe^（x^2)dx=1/2∫e^(x^2)dx^2=1/2e^(x^2)+C。把dx看做微分的话就很简便了。
这也是第一类换元法里面的一个知识

Answer 2

一元函数求导和可微是等价的。一元函数中不定积分和微分逆运算也就是不定积分和求导逆运算，两个一样的。追问

一元函数中，可微和可导的确是等价的，可并不是说求导和微分就是同一个东西。
对F(x)导数为F'(x)

而F(x)的微分为F‘(x)dx
怎么会是同一个东西？

追答

只是记号上的不同，实质是一样的。dx在这里只是一个记号，称为y是x的微分而已，有用的是前面的导数。比如求积分，后面的自然加上一个dx，相当于△x趋于0。那积分运算是∫，还是∫dx呢。这只是符号化便于计算而已，理解它真正的含义就行。你要是理解积分运算不包括dx，那就是和微分互逆，要是包括dx，就是和求导互逆。莱布尼兹还有另一套符号，只是写起来不方便计算所有现在人用的是牛顿的符号体系。你要明白有些符号只是便于计算而已，不用纠结太多。

Answer 3

dx就相当于deltax，是可以用来运算的哦。。。。
dy=f'（x）dx，dy/dx=f'(x)追答

那里有直接乘在一起？

dx不是仅仅一个符号啊，他是有实际意义的

追问

不定积分符号中并没有证明有任何意义。
我更想知道的是微分和不定积分为什么逆运算。

追答

微分就是相当于知道原函数求导数，积分相当于知道导数求原函数。所以互为逆过程，不过积分得到的不是唯一的原函数

Answer 4

∫F‘(x)dx中dx不仅仅是个符号，它还告诉你，积分的对象是哪个参数。在解决物理问题时，把这个参数分析出来是很重要的一个步骤。追问

符号的作用就是告诉我们记录了什么，显然你的回答只说明了dx具有一个符号的作用。（并没有说明其他性质，比如在dF(x)=F'(x)dx中dx不仅有代表自变量的微分的作用，还告诉了我们自变量的微分和导数之积等于因变量（函数）的微分即用符号记作dF(x)=F'(x)dx）
而且你说的完全和我的问题无关，我更想知道的是，为什么微分和不定积分为逆运算

追答

类似于
5*3=15,15/5=3, 15/3=5 ---(三个数可以用乘法和除法相互得出）

我们说 乘法和除法互为逆运算。