线性代数基础

Question

如图如题所示

Answer 1

一般求基础解系先把系数矩阵进行初等变换成下三角矩阵，然后得出秩，确定自由变量，得到基础解系,基础解系是相对于齐次(等号右边为0)的. 例如:x1+x2+x3+7x4=2,x1+2x2+x3+2x4=3,5x1+8x2+5x3+20x4=13,2x1+5x2+2x3-x4=7,其增广矩阵为 1 1 1 7 2 1 2 1 2 3 5 8 5 20 13 2 5 2 -1 7 通过初等变换为: 1 1 1 7 2 0 1 0 -5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 秩为2，未知数个数为4，自由变量个数为4-2=2 不妨设自由变量为x3、x4,取(x3,x4)=(1,0)和(0,1)代入方程组(取最终变换得到的比较简单)可得:(x1,x2)=(-1,0)和(-12,5) 于是基础解系的基:(-1,0,1,0)T和(-12,5,0,1)T. 非齐次方程组的一个特解:(1,1,0,0)T 于是非齐次方程组的解:k1(-1,0,-1,0)T+k2(-12,5,0,1)T+(1,1,0,0)T