高斯吧毕竟他被称为数学小王子
高斯在 3 岁时便能够纠正他父亲的账目中的错误.
2. 高斯在 9 岁上小学的时候，有一天老师故意布置了一道为难学生的数学题
~~~~~~~~~~~~1+2+3+\cdot\cdot\cdot+100=~?
没想到高斯一下子就给出了正确答案，是 5050 . 而且还解释了解答方法，那就是首尾相加，而现在 等差数列 的求和公式
~~~~~~a_{1}+a_{2}+\cdot\cdot\cdot+a_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}.
就是用高斯的这种方法推导出来的.
3. 高斯在 11 岁时独立推导出了 牛顿 的 二项式定理
~~~~~~~~~~~~(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}} a^{n-k}b^{k}.
4. 高斯在 14 岁的时候研究了下述数列：
设 a\geq b>0，a_{0}=a，b_{0}=b . 如下递推地定义数列 \left\{ a_{n} \right\},\left\{ b_{n} \right\} ：
~~~a_{n}=\frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2},~b_{n}=\sqrt{a_{n-1}b_{n-1}}.
高斯证明数列了 \left\{ a_{n} \right\}，\left\{ b_{n} \right\} 皆收敛，且极限相等， 此极限称为 a 和 b 的 算术几何平均值，记作 AGM(a,b) . 高斯还给出了 AGM(a,b) 的表达式：
AGM(a,b)=\frac{\pi}{2G},~G=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{\sqrt{a^{2}{\cos}^{2}x+b^{2}{\sin}^{2}x}}.
1976 年，数学家 Salamin 和 Brent 等人在此基础上发展出了一种计算圆周率 \pi 的快速算法，这种算法就是目前计算圆周率最快的算法之一的 Salamin-Brent 算法：
取 a=1 ， b=\frac{1}{\sqrt{2}} . 则
~~~~~~\pi=\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{(a_{n}+b_{n})^{2}}{1-2\sum_{k=1}^{n}{2^{n}(a_{n}^{2}-b_{n}^{2})}}}.
5. 1792 年，这一年高斯 15 岁. 有一天高斯偶然得到一本书，书上有一个对数表，还有一个素数表. 由于闲来无事，高斯花了将近一刻钟的时间计算了其中 1000 个，他惊讶地发现素数的分布密度接近于对数的倒数，这一发现就是就是著名的 素数定理：
~~\lim_{x \rightarrow \infty}{\frac{\pi(x)}{Li(x)}}=1,~~Li(x)=\int_{2}^{x}\frac{dt}{\log t}.
素数定理的数值结果
6. 1796 年，高斯 19 岁，这一年是高斯的高光时刻！
3 月 30 日：高斯证明了正十七边形可以尺规作图. 证明正十七边形可以尺规作图的关键是证明 \cos\frac{2\pi}{17} 可以用根式表达出来，高斯经过一顿巧算得到
\cos\frac{2\pi}{17}=-\frac{1}{16}+\frac{1}{16}\sqrt{17}+\frac{1}{16}\sqrt{34-2\sqrt{17}}
~~~~~~~~~~~~~~~~~+\frac{1}{8}\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}.
正十七边形尺规作图
正十七边形的尺规作图问题是一个千古难题，对于这一问题的解决高斯颇为得意，据说高斯因此决定在数学和文学之间选择将数学作为自己的终身事业，而把文学当做兴趣爱好，他还嘱咐后人将正十七边形刻在自己的墓碑上.
高斯墓碑上的正十七角星
单单证明正十七边形可以尺规作图还不过瘾，高斯干脆一口气把正多边形的尺规作图问题一锅端了，即得到下述结论：
高斯定理：正 n 形边可以尺规作图当且仅当 n=2^kF_{m_{1}}F_{m_{2}}\cdot\cdot\cdot F_{m_{l}} ，其中 k,l\geq0 ，而 F_{m_{1}} ， F_{m_{2}} ， \cdot\cdot\cdot ， F_{m_{l}} 为两两不同的 费马素数.
可以尺规作图的正多边形
4 月 8 日：高斯证明了自己奉之为瑰宝的 二次互反律：
~~~~~~~~~~\left( \frac{p}{q} \right)\cdot\left ( \frac{q}{p} \right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}\cdot\frac{q-1}{2}}.
高斯对二次互反律钟爱有加，前后一共给出过 6 种不同的证法，每一种证法都包含了重要的数学思想. 后来他又发现了 四次互反律：
~~~~~~~\chi_{\pi}(\lambda)=\chi_{\lambda}(\pi)\cdot(-1)^{\frac{N(\pi)-1}{4}\cdot\frac{N(\lambda)-1}{4}}.
从二次互反律开始，然后发展到三次互反律和四次互反律，后面继续推广到 艾森斯坦互反律，最后拓广到称之为 类域论 理论高峰的 阿廷互反律. 由此可知二次互反律的重要性，高斯对之爱不释手也就不难理解了.
7月 10 日：高斯证明了下述结论：
高斯定理：每一个正整数都可以表示为不超过 3 个三角数之和.
比如我们观察前面几个正整数：
1=1，2=1+1，3=3=1+1+1，
4=1+3，5=1+1+3，6=6=3+3，
7=1+3+3，8=1+1+6，9=3+6，
10=10=1+3+6，11=1+10，\cdot\cdot\cdot
高斯的这一重要结论和下面这些著名的定理紧密相关：
拉格朗日四平方和定理：每一个正整数都可以表示为不超过 4 个平方数之和.
费马定理：当 n\geq3 时，每一个正整数都可以表示为不超过 n 个 n 角数之和.
n 角数
10月 1 日：高斯得到了关于有限域系数的方程的解的个数的结果，即下述问题：
考虑有限域 F_{p} 上的方程 x^3+y^3=1 ，此方程只有有限个解，我们将其解的个数记为 N(x^3+y^3=1) . 那 N(x^3+y^3=1) 的值是多少呢？高斯给出了下述答案：
高斯定理：设 p 为素数，则
(1). 当 p\equiv 1~ (mod~3)时，
~~~~~~~~~N(x^3+y^3=1)=p-2+A.
其中，整数 A 满足 A\equiv 1~ (mod~3) ，且 4p=A^2+27B^2 .
(2). 当 p\equiv 2~ (mod~3)时，
~~~~~~~~~~~~~~~~~N(x^3+y^3=1)=p.
如当 p=61 时，显然有 4\cdot61=1^2+27\cdot3^2 ，从而
~~~~~~N(x^3+y^3=1)=61-2+1=60.
而当 p=67 时，显然有 4\cdot61=(-5)^2+27\cdot3^2 ，从而
~~~~~~N(x^3+y^3=1)=67-2-5=60.
高斯的上述结果对后世影响极大，数学家 韦依 据此提出了对于 20 世纪的代数几何造成重大影响的 韦依猜想.
7. 1799 年，高斯 22 岁，他在这一年完成了博士论文，在其博士论文里高斯第一个给出了下述重要定理的证明：
代数学基本定理：复系数多项式方程
a_{0}x^n+a_{1}x^{n-1}+\cdot\cdot\cdot+a_{n-1}x+a_{n}=0
必有根. 其中 n\geq1 ， a_{0}\ne0 .
在高斯的博士论文中，他并未具体构造出多项式方程的解，而是一种纯粹的存在性证明. 高斯前后一共给出过代数学基本定理的四个证明，其中最后一个是在 1849 年给出的，是为了庆祝他获得博士学位 50 周年，此时高斯已 72 岁高龄.
8. 1801 年，高斯 24 岁，在这一年高斯的数论专著《算术研究》问世， 这是一部划时代的著作. 在书中高斯对前人在数论中的一些杰出而又零散的成果予以系统地整理并加以推广，还给出了标准化的记号，把研究的问题和解决这些问题的方法进行了分类， 还引进了新的方法，这部著作奠定了近代数论的基础. 现如今的印度数学家 Bhargava 就是研究了高斯的《算术研究》后获得启发做出了一些开创性的工作，从而获得了 2014 年的 菲尔兹奖，由此可见高斯的这部著作的深刻性和重要性.
这只是前期的部分事迹
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