均值不等式的证明方法

Question

如题所述

Answer 1

均值不等式公式如下：

1、√((a2+b2)/2)≥(a+b)/2≥√ab≥2/(1/a+1/b)。(当且仅当a=b时间，等号成立)

2、√(ab)≤(a+b)/2。(当且仅当a=b时间，等号成立)

3、a2+b2≥2ab。(当且仅当a=b时间，等号成立)

4、ab≤(a+b)2/4。(当且仅当a=b时间，等号成立)

5、||a|-|b| |≤|a+b|≤|a|+|b|。(当且仅当a=b时间，等号成立)

均值不等式的证明

关于均值不等式的证明方法有很多，数学归纳法（第一数学归纳法或反向归纳法）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以证明均值不等式。

用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A+B≥0，有兴趣的同学可以想想如何证明（用数学归纳法）（或用二项展开公式更为简便）。

以上资料参考：百度百科-均值不等式

Answer 2

均值不等式通常指的是算术平均值、几何平均值和调和平均值之间的关系。对于一组正数 \(a_1, a_2, ..., a_n\)，这些不等式可以表示为：
\[ \text{算术平均值} \geq \text{几何平均值} \geq \text{调和平均值} \]
具体来说：
\[ \frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n} \geq \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + ... + \frac{1}{a_n}} \]
下面是这个不等式的证明：
1. **算术平均值和几何平均值之间的不等式**：
对于非负数 \(a_1, a_2, ..., a_n\)，我们有：
\[ \frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n} \]
这可以通过使用归纳法和AM-GM不等式来证明。对于 \(n = 2\)，我们有：
\[ \frac{a_1 + a_2}{2} \geq \sqrt{a_1 \cdot a_2} \]
这可以简化为 \(a_1^2 + 2a_1a_2 + a_2^2 \geq 4a_1a_2\)，这是显然成立的。
2. **几何平均值和调和平均值之间的不等式**：
对于正数 \(a_1, a_2, ..., a_n\)，我们有：
\[ \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n} \geq \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + ... + \frac{1}{a_n}} \]
将几何平均值的表达式乘以调和平均值的分母，并将调和平均值的表达式乘以几何平均值的分母，我们得到：
\[ a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n \left(\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + ... + \frac{1}{a_n}\right) \geq n^n \]
这可以简化为 \(n(a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n) \geq n^n\)，这是显然成立的。
综上所述，均值不等式得证。