高数一次定积分？

Question

画横线的一次定积分怎么算出来的，请给出积分过程
好回答必采纳。

Answer 1

1、直接查积分表；

2、

钟意否？

Answer 2

为了计算从0到2π的弧长，我们首先需要知道极坐标下的弧长公式。对于极坐标中的曲线r = f(θ)，弧长s可以用如下公式表示：
s = ∫(√(r^2 + (dr/dθ)^2))dθ
现在，我们需要计算给定曲线r = αθ时的dr/dθ：
r = αθ
dr/dθ = α
下一步，我们将r和dr/dθ带入弧长公式：
s = ∫(√((αθ)^2 + α^2))dθ， 积分区间为[0, 2π]
为了简化积分项，我们可以提取α：
s = α∫(√(θ^2 + 1))dθ， 积分区间为[0, 2π]

Answer 3

令 θ = tant，则 dθ = (sect)^2 dt, √(1+θ^2) = sect
I = ∫√(1+θ^2) dθ = ∫(sect)^3dt
= ∫sectdtant = secttant - ∫sect(tant)^2dt
= secttant - ∫sect[(sect)^2-1]dt
= secttant - ∫[(sect)^3-sect]dt
= secttant - I +ln(sect+tant)
2I = secttant +ln(sect+tant)
= θ√(1+θ^2) + ln[θ+√(1+θ^2)]
I = (θ/2)√(1+θ^2) + (1/2)ln[θ+√(1+θ^2)]
再代入积分上下限。