行列式是一种运算 其实质其实就是一个数.
矩阵可以看作一种算符（operator），矢量左乘一个矩阵可以看作把矢量进行一次线性变换。
矩阵诞生之初是为了解线性方程。
我们来看这么一个方程：
5x+6y+7z=31
3x-4y+z=-4
x-z=-1
这个方程组很好解，但是我们换一个角度来看一看这个方程组。
上面这个方程可以用矩阵的方式来表示，这也是矩阵最早的用途：(还没学会怎么用自带的，见笑……)
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上面那个公式就是之前方程的矩阵表示形式了。
如果把看作一个矢量，把看作另一个向量。那么左边那个系数矩阵就可以看作一种算子，这个算子操作某一个矢量，使之线性变换，成为了新的一个矢量。（这个说法不是很严谨，实质上，矢量本身并没有变，只是空间的基变了，所以表示该矢量的各分量都变了，见后文说明。）
前面那个矩阵就叫做变换矩阵，这个就是由解方程引出的，后来在微积分和代数学中广泛应用的矩阵了。
这个矩阵可以操作三维欧氏空间上的所有向量使之成为新的向量。事实上，这个变换矩阵是对对应两个线性空间的（或者说是一个三维欧氏空间由一组基表示变成了由另一组基表示）。还用上述例子，如果原空间的一组基是我们常用的一组基:,, 所表示的。那么经过变化矩阵的操作以后，这一组基变成了：, , 。在这组新的基下，原向量可以表示为：,所以，你可以这么想：矩阵的本质，就是对空间的一种变换。当然，我说的矩阵都是方阵。