一、Ⅰ型裂纹尖端附近的应力场与位移场
讨论具有中心穿透裂纹的无限大平板在无限远处受有均匀双向拉应力作用时裂纹尖端的应力和位移，当板很薄时，按平面应力问题处理（σz=0）。当板很厚时，按平面应变问题处理（εz=0）。选取坐标系如图2-1所示，下面来计算裂纹尖端附近一点P（r，θ）的应力和位移。
图2-1 具有中心穿透裂纹的无限大平板受均匀双向拉应力
（1）裂纹内是一个没有压力的空腔，故内表面上无应力，即当y=0，-a
（2）远离裂纹尖端处应力集中作用消失，因此无限远处的应力为：当y=0，x→±∞时，σy=σ，σx=σ。
（3）在裂纹的中心对称轴线y=0上，裂纹前缘附近的应力σy＞σ，即：y=0，x＞a或x<-a时，σy＞σ，且x→a时，σy→∞。
综上所述，可选解析函数为
岩石断裂与损伤
其中：z=x+iy（以裂纹中心为坐标原点）。下面验证Z是否满足边界条件：
y=0时，
岩石断裂与损伤
-a＜x＜a时，
岩石断裂与损伤
ReZ=0，σy=0，τxy=-yReZ=0，满足（1）；
x→±∞时，σx=ReZ′=σ，σy=ReZ′=σ，满足（2）；
x＞a或x＜-a时，σy＞σ，x→a时，σy→∞，满足（3）。
2.求应力分量
将z=x+iy用极坐标表示：x=a+rcosθ，y=rsinθ，为求解方便，引入下式表示的变量ξ：
ξ=reiθ=rcosθ+irsinθ=（x-a）+iy=x+iy-a=z-a
在裂纹前端附近，当r≪a时，r→0，ξ=reiθ→0，z=ξ+a→a，z+a→2a
则有
岩石断裂与损伤
式（2-10）即为用极坐标表示的解析函数。
因为
岩石断裂与损伤
有
岩石断裂与损伤
因为
岩石断裂与损伤
故
岩石断裂与损伤
令，则
岩石断裂与损伤
同理可得其余两式：
岩石断裂与损伤
当r→0时，σx，σy，τxy→∞，故裂纹尖端的应力场具有奇异性。
对于裂纹尖端附近一定点（r，θ），应力完全决定于KⅠ的大小，即KⅠ与位置坐标无关。KⅠ越大，该点的应力也越大，因此KⅠ是表征裂纹尖端区域应力场强弱程度的参量，称为应力强度因子，下标“Ⅰ”表示Ⅰ型裂纹。
若裂纹体受力为单向拉伸应力，则在σx的表达式中需增加一项：-σ。
3.求位移分量
根据式（2-10）可得
岩石断裂与损伤
代入式（2-8）得
岩石断裂与损伤
由于在上述推导过程中使用了ξ→0这一条件，故式（2-11）、式（2-12）只适用于裂纹尖端附近区域，即要求r≪a，对于稍远处，应用式（2-13）确定各应力分量和位移分量：
岩石断裂与损伤
一般情况下，r/a=0.02，σy的误差小于1.5%。
二、Ⅱ型裂纹尖端附近的应力场和位移场
无限大板，中心具有长为2a穿透裂纹、在无穷远处受切应力作用，为Ⅱ型裂纹问题，如图2-2所示。求解方法与Ⅰ型基本相同，主要差别是无穷远处边界上受力条件不同。
图2-2 具有中心穿透裂纹无限大板受切应力作用
边界条件：
（1）y=0，-a＜x＜a：σy=0，τxy=0。
（2）z→∞，σx=0，σy=0，τxy=τ。
选取应力函数：
岩石断裂与损伤
式中：
岩石断裂与损伤
裂纹尖端应力场为
岩石断裂与损伤
裂纹尖端位移场为
岩石断裂与损伤
式中：为Ⅱ型裂纹尖端附近的应力强度因子。
三、Ⅲ型裂纹尖端附近的应力场和位移场
带有中心穿透裂纹的无限大平板在无限远处受到垂直于xy平面的切应力作用时，裂纹表面将在垂直于平板表面方向（xy平面）相对滑动，这是Ⅲ型裂纹问题，如图2-3所示。由于裂纹沿z方向前后错开，故平行于xy平面的位移u=0，v=0，只有垂直于xy平面的位移w≠0，属于空间问题。又因外力不随z变化，可设w=w（x，y），由几何方程可得应变分量为
图2-3 具有中心穿透裂纹无限大板受反平面切应力作用
岩石断裂与损伤
由物理方程可得
岩石断裂与损伤
不计体力的平衡方程为
岩石断裂与损伤
将用位移分量w表示的应力分量代入平衡方程：
岩石断裂与损伤
即
▽2w=0
上式表明：位移函数满足Laplace方程，所以w为调和函数。
选择复变解析函数：
岩石断裂与损伤
则有
岩石断裂与损伤
边界条件：
（1）y=0，-a＜x＜a：τyz=0；
（2）y→∞，τyz=τ；
（3）x→∞，τxz=0。
选取解析函数为
岩石断裂与损伤
Z恒满足边界条件，则可求得应力分量为
岩石断裂与损伤
位移分量为
岩石断裂与损伤
式中：称为Ⅲ型裂纹的应力强度因子。显然当r→0时，τyz→∞，τxz→∞，即应力分量具有奇异性。
本节讨论了无限大平板中具有穿透Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ型裂纹尖端的应力场和位移场，1957年，Willams提出用无穷级数表示的应力函数分析有限尺寸平板中具有穿透裂纹的应力场和位移场，当r≪a时，取第一项得到的结果与以上分析（Westeraard应力函数法）相同。这说明：对有限体与无限体来说，K值是相同的，故得到的应力强度因子KⅠ、KⅡ、KⅢ具有普遍意义。