波动方程反映了波传播的基本规律，若给定具体条件，可通过求解波动方程实现地震波场的正、反演。波动方程的解就是波函数，波函数的变化规律描述了地震波场的特征。
8.3.1 无限大均匀各向同性介质中的平面波
设
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代入弹性波方程得到满足，则可认为U为弹性波方程的位移解。
在（8.3-1）式中：A 为振幅项，决定位移的大小，为简谐波参数，f 为频率，ω为角频率，v 为波速；
i为虚数符号，eiφ=cosφ+isinφ，仅考虑实数时为简谐波。
k1x+k2y+k3z-vt为传波项，k1x+k2y+k3z-vt=0为平面方程，K=K（k1，k2，k3）为平面的法向量，对固定的时间t，平面方程表示了以K为法向量的平面，波前均在这个平面上。
称（8.3-1）式表达的波函数为平面简谐波，当K是任意矢量时，也称为沿任意方向传播的平面简谐波。
若取K沿x方向，即k1=1，k2=k3=0，则
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其位移分量
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将（8.3-3）式代入弹性波分量式得
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①当 v=v P=时，解（8.3-4）式得，A1 =\0，而 A2=A3=0，从而有
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（8.3-5）式说明，沿 x 方向传播的平面波波速为纵波速度时，沿 x 方向的位移分量u=\0，而其他位移分量为零，波的传播方向 K 与质点位移方向d 一致（K∥d）。故称为平面纵波，也称为胀缩波，通常简称为 P波（Pressure Wave）。
②当 v=v S=时，（8.3-4）式解为 A1=0，A2 =\0，A3 =\0，从而有 u′=0，v′=\0，w′=\0。结论说明，沿 x 方向传播的平面波波速为横波速度时，波的传播方向与质点位移方向垂直（K⊥d），故称为平面横波，也称为剪切波，简称 S 波（Shear Wave）。S 波有两个质点振动方向，称质点沿 z 轴振动的S波分量为垂直偏振的剪切波，简称SV（Vertical）波；质点沿 y 轴振动的S波分量称为水平偏振剪切波，简称SH（Horizontal）波。
总之，弹性波由三个相互垂直的分量组成，故称为三分量地震波，它们分别为P波、SV波和SH波。
8.3.2 无限大均匀各向同性介质中的球面波
在地震勘探中，一般是用点源激发地震波，点源激发的地震波以球面波形式向外传播。因此，讨论球面波的波场特征更具有实际意义。
据弹性波动理论，在均匀各向同性介质中，力源的类型与所产生的波具有一一对应关系，即胀缩力产生纵波，旋转（剪切）力产生横波。以下分别讨论胀缩点源产生的球面纵波和旋转点源产生的球面横波。
8.3.2.1 胀缩点源与球面纵波
（1）地震勘探中的胀缩点源
在地震勘探中广泛用井中爆炸作为激发震源。在均匀各向同性介质中，炸药爆炸后有一个均匀的力垂直作用在半径为a的球形空腔壁上。当空腔半径a→0，或相对无限大空间而言，用该方法产生的震源可看作一个胀缩点源。点源的力位函数或震源强度函数可用下式表示：
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该式也称为胀缩点源的初始条件。
（2）球面纵波的传播方程解
在均匀各向同性介质中激发点源，点源所产生的胀缩力的作用面具有球对称性，因此所产生的波前面是一个球面，故称为球面波。
已知纵波波动方程为式（8.2-12），当力位函数Φ（t）=0时，波动方程为
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这是直角坐标系中的波动方程，称为传播方程。为求解方便，可将（8.3-7）式转换到球坐标系为
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式中：φ1=rφ，r为球面法线方向，该式为球坐标一维波动方程。可用达朗贝尔法解得
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式中：f1 （t-）为发散波，f2 （t+）为会聚波。按实际物理含义，最后得满足波动方程的解为
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式中f为任意函数。
当考虑t≤Δt时，力位函数不为零，即需求解非齐次方程。
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将点源用半径r=a的小球体代替，设小球体体积为W，对（8.3-11）式求体积分，并令球半径r-→0，可得
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若令
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求解（8.3-12）式积分方程。
力位函数不为零的波动方程解为
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该式为用震源函数表示的波动方程位移位解，其中Φ1（t）也称为震源强度。
（3）球面纵波的位移解
在地震勘探中，接收到的地震波振幅值反映的是质点位移，为此需求取位移解。利用位移矢量与位移位的关系，球面纵波的位移UP为
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该式的物理含义为：
ⓐ球面纵波以速度 vP沿 r 方向向外传播；ⓑ位移函数与震源强度Φ1（t）及一阶导数有关；ⓒ位移幅度与传播距离 r 及r2 成反比；ⓓ质点位移方向（r）与波的传播方向（r）一致；ⓔ“t-”表示延迟位；ⓕ质点位移在一维空间内振动，称此波为线性极化波。
8.3.2.2 旋转点源与球面横波
如果在讨论纵波的各种假设条件不变，仅将震源的性质由胀缩力变为旋转力，依照纵波方程的解法，可得旋转点源作用下，横波波动方程位移位的解为
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位移解为
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式中：er、eα、eβ为球坐标系中的三个单位矢量，其中
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（8.3-18）式为球坐标中的三个位移分量，Ψx、Ψy、Ψz是震源强度Ψ的三个分量。
（8.3-18）式的物理含义如下。
ⓐ球面横波以速度 vS沿 r 方向向外传播；ⓑ位移分量函数与震源强度Ψ（t）及一阶导数有关；ⓒ位移幅度与传播距离 r 及r2 成反比；ⓓ波的传播方向（r）与质点位移方向（eα，eβ）垂直。质点位移方向有两个，沿 eα方向的质点位移称为垂直偏振波（SV），沿 eβ方向的质点位移为水平偏振波（SH）；ⓔ“t-”表示延迟位；ⓕ横波仍为线性极化波。8.3.3 地震波的动力学特征
由震源激发的纵（横）波经地下传播并被人们在地面或井中接收到的地震波，通常是一个有一定长度的脉冲振动，用数学公式表示就是前节讨论的位移位或位移解。该式是一个函数表达式，它描述了介质质点的振动规律，应用信号分析领域中的广义术语，可称为振动信号，在地球物理领域称为地震子波。对一个随时间变化的振动信号，描述其特征的有振动幅度（简称振幅）A、振动频率f（或周期T）、初相位φ。若考虑信号随空间变化，则还有波长λ或波数k。称用于描述地震波振动特征的参数A、f、T、φ、λ、k为地震波动力学参数。所谓地震波的动力学特征就是由地震波的动力学参数来体现的。以下讨论以球面纵波为例。
8.3.3.1 球面纵波的传播特点
球面纵波的位移解为（8.3-15）式，在位移解UP的表达式中，其振动幅度既与传播距离r2、r有关，又与震源函数Φ（t）及Φ′（t）有关。分两种情况讨论：
（1）近震源情况
当靠近震源时，r比较小，有条件
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则
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可见在近震源时，质点位移UP与震源函数Φ（t）成正比，与r2成反比。
（2）远震源情况
当波传播远离震源时，r比较大，这时有
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则
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在远离震源时，质点位移UP与震源函数的一阶导数Φ′（t）成正比，与传播距离r成反比。
综合两种情况可得出以下结论：
①在近源区，质点振动规律（波函数）主要由震源函数Φ（t）确定；而在远震源区，质点振动规律主要由Φ′（t）确定。说明随着传播距离r的变化，地震子波函数在不断发生变化。这一点也说明了地震子波的复杂性。
②在近源区，位移振幅与r2成反比衰减，衰减较快。在远源区，位移振幅与r成反比衰减，衰减较慢。当r很大时，地震波振幅逐渐趋于稳定。
（3）波前、波带及波尾
通常地震勘探是在远离震源区的位置观测地震波。因此，在上述讨论远震源情况的基础上，要进一步讨论有关波前、波带和波尾的概念。
已知远离震源时，质点位移函数由震源函数的一阶导数Φ′（t）确定，而Φ′（t）又是由Φ（t）确定的。按照胀缩点源的定义，假设点源是一脉冲震源于t=0时开始作用，作用延续时间为Δt，则震源函数Φ（t）为
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其一阶导数Φ′（t-）可表示为
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由（8.3-22）式Φ′（t-）的存在条件
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当t=t1时，波动在空间的存在范围是
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或
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式中：r1=vP（t1-Δt），r2=vPt1，Δr=r2-r1=ΔtvP。
该式的含义可用图8-2表示，即波从O点出发，经t=t1-Δt时间到达r1点，再经Δt时间到达r2点。由于波的振动延续范围为Δr，故当r2点开始振动时，r1点振动正好停止。因此，称r2点为波前，以r2为半径的球面为波前面。称r1点为波尾，以r1为半径的球面为波尾面。称r1到r2之间正在振动的部位为波动带，简称波带。这样可由波前面、波尾面将无限大空间划分为三个区域：r≤r1称为波尾区，表示波动已停止的区域，代表了波后的状态；r1
图8-2 波前、波尾及波动带
在波动区，由于位移UP是由震源函数的一阶导数确定，所以相邻质点的位移状态是不相同的。有部分相邻介质可能是相互靠近，形成介质的局部密集带，称为压缩带。有些介质彼此分开，形成局部疏松带，称为膨胀带。这些压缩带和膨胀带不间断交替更换，使地震波不断向前传播，这就是纵波（胀缩波）的传播特点。
8.3.3.2 地震波的波剖面和振动图
地震波传播除速度外主要与两个参数有关，即时间（t）和空间位置（r）。分别考虑：当时间一定时，不同位置质点的位移状态；或当位置不变时，质点随时间振动的情况，可得出波剖面和振动图的概念。
（1）波剖面
考虑波动带内的情况，当时间t=t1时刻，观察波动带内沿波传播方向（r）各质点的位移状态图形，称为波剖面。若用正值表示压缩，用负值表示膨胀，则波剖面可用图8-3（a）表示。
在波剖面中，正峰值称为波峰，负峰值称为波谷，相邻波峰之间的距离为视波长λ，λ的倒数为视波数k=。
图8-3 地震波的波剖面和振动图
（2）振动图
在波动区内选一质点P，由于波动中膨胀和压缩是交替进行的，所以对p点而言位移也是正负变化的，观察质点P随时间的位移变化状态可用图8-3（b）表示。
则称该质点随时间的位移图形为振动图。振动图的极值（正或负）称为波的相位，极值的大小称为波的振幅，相邻正极值（或负极值）之间的时间间隔为视周期T，视周期的倒数为视频率 f=。视波长λ与视周期的关系为λ=T·v。
在地震勘探中，是将检波器放在地表或地下（井中）某一位置接收地震波，所以地震仪接收的单道记录为振动图，而由空间陈列检波器接收的多道记录包含了振动图和波剖面两部分。
8.3.3.3 地震波的能量和球面扩散
地震波的传播实质是能量的传播。由物理学中的波动理论可知，波在介质中传播时的能量等于动能Er和位能Ep之和。设波通过的介质体积为W，介质的密度为ρ，对简谐振动来说，则波的能量E可用下式表示：
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式中：A表示波动的振幅；ω=2πf；f表示波的频率。
上式说明，波的能量与振幅平方、频率的平方及介质的密度成正比。于是包含在介质中单位体积内的能量，称为能量密度e
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定义单位时间通过介质面积S的能量为能流通量，则单位时间通过单位面积的波的能量为能流密度或波的强度I。因为实际地震勘探是在波前面的单位面积上观测波的能量信息的，如果时间dt内通过面积ds的能量为e·v·dt·dS，则波的强度I为
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式中v为速度。所见波强度是正比于波的振幅平方、频率平方及密度和速度。
现在我们来研究球面波的能量密度。图8-4表示一个从中心O发出的球面纵波的波前示意图，二个球面的半径分别为r1和r2，以r1、r2为半径的球面与以Ω为主体角的锥体相交的面积分别为S1和S2，相交域内锥体的侧面积为S3。由于球面波沿r方向传播，S3中无能量流通，波仅是从S1面流入，从S2面流出。因此，通过S1面和S2面的能流通量应相等，即有
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式中：IS、IS分别为S1面和S2面的能流密度。显然有关系：
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或
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从以上两点可得出结论：①波的强度I与传播距离成反比。②波的振幅A与传播距离成反比。
形成这种关系的物理解释是因为随着传播距离r的增大，球面越来越大。在能量守恒的条件下，相同的能量重新分配在越来越大的球面上，这必然造成能流密度I随r增大而减小，I越小，振幅A也随之减小。把这种现象称为球面扩散或几何扩散。球面扩散不存在能量损失问题，仅是能量重新分配，这种能量变化与地下岩石弹性参数无关。
图8-4 球面波能量密度示意图
8.3.4 地震波的运动学特征
地震勘探对波动的研究不仅考虑动力学特征，而且更多地利用波传播时间和空间距离之间的关系，确定地下地质构造，即所谓地震波的运动学特征。下面介绍几个有关运动学方面的著名原理。
8.3.4.1 惠更斯-菲涅尔原理
惠更斯（Huygens）于1690年首先提出这个原理，其要点是：任意时刻波前面上的每一个点都可以看作是一个新的点源，由它产生二次扰动，形成元波前，而以后（下一个时刻的）新波前的位置可以认为是该时刻各元波前的包络，如图8-5所示。惠更斯原理告诉我们，可以从已知波前求出以后各时间的波前位置。该原理虽给出了地震波传播的空间几何位置，但没有涉及到波到达该位置的物理状态。
图8-5 惠更斯原理示意图
菲涅尔（Fresnel）补充了惠更斯原理的不足，他认为由波前面各点所形成的新扰动（二次扰动）都可以传播到空间任一点M，形成互相干涉的叠加振动，该叠加扰动就是M点的总扰动。这就使得惠更斯原理有了明确的物理意义，故称为惠更斯-菲涅尔原理。
8.3.4.2 绕射积分理论——克希霍夫积分公式
惠更斯-菲涅尔从理论上描述了波的传播，但没有解决具体如何计算某一点的波场问题。1883年，德国学者克希霍夫（Kirchoff）在惠更斯-菲涅尔原理的基础上，认为波前面上任一个新点源发出的元波是一种广义的绕射子波，在空间任意一点的波场就是所有绕射子波的积分和。他从波动方程出发经严格的数学证明，得出了可适应普遍条件的、能精确描述M（x，y，z）点波场的绕射积分公式——克希霍夫积分公式：
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当闭区域W内无源时（或震源已作用结束），曲面S上的二次扰动引起M点扰动的积分和为：
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以上两式中Φ为震源函数，〔 〕称为延迟位，n是S面的外法线，r为S面任一点至M点的连线。
已知（t-）时刻S 面上的波场〔φ〕，[]，[]及距离r，即可由（8.3-33）式计算得 t时刻M（x，y，z）点的波场值。
8.3.4.3 费马原理及波的射线
费马（Fermat）原理阐明，波沿着垂直波前面的路径传播时间最短。这个路径就是波场的射线。费马原理说明波沿射线传播的旅行时比其他任何路径传播的旅行时都小，这就是费马的最小时间原理。
费马原理纯粹从空间上描述了波的传播问题，即波是沿射线传播的。从能量的观点来看，波沿一条射线传播这样一种观念与上述惠更斯-菲涅夫原理，尤其是绕射积分理论是否有矛盾?实际上，费马原理是从运动学的规律描述波的传播，我们称这种理论为射线理论。而绕射积分理论是从动力学的规律描述波的传播，我们称这种理论为波动理论。射线理论仅是波动理论的一种近似表示，二者既有统一性，又有所差别。图8-6说明了二者的一致与差别。在图8-6中，设 S 面是由点源M0 发出的任意时刻的圆波前面位置，其半径为 r0，波前面上的任意小面元用dS 表示，M 点是球面S 外的一点，它至dS 的距离为r，用θ表示dS 的外法线 n 与r 的夹角。
如果由M0点发出之球面简谐波其振幅为A，角频率为ω，S面上dS处的二次波动为
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式中：k=，并略去了周期因子eiωt。
根据惠更斯-菲涅尔原理，则S面上所有dS对M点的扰动叠加为
图8-6 倾斜因子示意图
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式中
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称为倾斜因子，式i表示相位超前。下面分别讨论 S 面上a、b、c 三点的 d S 对M 点扰动的贡献大小：
（1）在a点，n=ra，θ=0，故cosθ=1，
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（2）在b点，n⊥rb，θ=90°，故cosθ=0，
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（3）在c点，n=-rc，θ=180°，故cosθ=-1，
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由以上三点对M点的扰动贡献可见，a点对M点的贡献最大，向两边逐渐减小，在b点其贡献仅有a点的一半，到达c点时，贡献减为零。因此，可以说S面上的二次扰动对M点扰动的能量贡献主要集中在a点附近的菲涅尔带内，而菲涅尔带中心点a到M点的连线正好是震源M0到M点的射线。所以波传播的主要能量集中在射线方向或者集中在射线附近。由此可见，射线理论是波动理论的一种近似，而且波的动力学和运动学是趋于一致的。
8.3.4.4 时间场和视速度定理
（1）时间场的概念
由费马原理知，波是沿射线传播的，射线与波前成正交关系。因此，也可以认为波前面在空间向前传播，波前的传播时间t可看作空间坐标（x，y，z）的函数，即：
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根据这一函数关系，若已知空间任一点的坐标，就可确定波到达任一点的时间，因而也就确定了波至时间的空间分布，这种波至时间的空间分布被定义为时间场，而确定这个场的函数t（x，y，z）则称为时间场函数。
时间场是标量场，在时间场中，同一波前面的时间相同，称为等时面，其方程为
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M（x，y，z）是等时面上的点，显然不同时刻在介质中传播的波前面位置应同该时刻的等时面重合。如图8-7、图8-8，在均匀介质中由点源激发的球面波等时面是一族同心球面，而平面波的等时面则是一列平行的平面。
图8-7 球面波等时面示意图
图8-8 平面波等时面示意图
在时间场中，由于等时面与射线正交，所以时间场的梯度方向就是射线方向。假定波在某一时刻t1位于Q1位置，经过Δt时间后于t2=t1+Δt时刻到达Q2位置，Q1至Q2之间垂直距离为ΔS，波传播速度为v（x，y，z），则按梯度的定义：
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τ称为时间场变化率，也称为慢度。进一步对（8.3-41）式求平方可得射线方程式为：
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该式描述了在射线理论近似的条件下，对速度分布为v（x，y，z）的介质中传播的任意体波的时间场，它是几何地震学的基本方程。
（2）视速度定理
由射线理论知，波沿射线在传播。如果在射线方向观测波传播的速度，则该速度为真速度。如图8-9所示，Δs=在Δt 时间沿射线传播的距离，则真速度 v 为
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在地震勘探中，很难做到沿射线观测真速度。假如在水平面S及P′两点之间观测速度，由于P及P′均在Q2等时面上，对观测者来说，好像波用v*速度经Δt时间从S点传播到P′点，该速度v*称为视速度
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由于
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则
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该式建立了真速度和视速度之间的关系，称为视速度定理。
图8-9 视速度定义示意图
视速度定理说明，当射线与水平面的夹角e=0时（相当波沿地表传播），v*=v，此时视速度等于真速度。当e=90°时（相当射线垂直地面），v*=∞，这时波同时到达两观测点，好像波以无穷大速度在传播一样。当0