函数的定义

Question

对应的时候要求X只能对一个Y，那为什么后来又出来个多值函数？

Answer 1

Answer 2

以前的函数定义在很大程度上混淆了函数的单值和多值的区分性，只是从定义域与值域的对应关系上定义函数。在高等数学中用一一映射来确定函数，把一一映射理论引入到微积分中，统一了函数定义，并明确了分段函数与多值函数的定义。
一、 函数的定义

函数的传统定义：

设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量。

我们将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

函数的近代定义：

设A，B都是非空的数的集合，f：x→y是从A到B的一个对应法则，那么从A到B的映射f：A→B就叫做函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B，原象集合A叫做函数f(x)的定义域，象集合C叫做函数f(x)的值域，显然有CB。

符号y=f(x)即是“y是x的函数”的数学表示，应理解为：

x是自变量，它是法则所施加的对象；f是对应法则，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x为允许的某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值，当f用解析式表示时，则解析式为函数解析式。y=f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定是解析式，在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等符号来表示。

对函数概念的理解

函数的两个定义本质是一致的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。这样，就不难得知函数实质是从非空数集A到非空数集B的一个特殊的映射。

由函数的近代定义可知，函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。y＝f（x）的意义是：y等于x在法则f下的对应值，而f是“对应”得以实现的方法和途径，是联系x与y的纽带，所以是函数的核心。至于用什么字母表示自变量、因变量和对应法则，这是无关紧要的。

函数的定义域（即原象集合）是自变量x的取值范围，它是构成函数的一个不可缺少的组成部分。当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则完全确定之后，函数的值域也就随之确定了。因此，定义域和对应法则为“y是x的函数”的两个基本条件，缺一不可。只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数，这就是说：

1）定义域不同，两个函数也就不同；

2）对应法则不同，两个函数也是不同的；

3）即使是定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则。

例如：函数y＝x＋1与y＝2x＋1，其定义域都是x∈R，值域都为y∈R。也就是说，这两个函数的定义域和值域相同，但它们的对应法则是不同的，因此不能说这两个函数是同一个函数。

定义域A，值域C以及从A到C的对应法则f，称为函数的三要素。由于值域可由定义域和对应法则唯一确定。两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时，才是同一函数。

例如：在①y＝x与 ，② 与 ，③y＝x＋1与 ，④y＝x0与y＝1，⑤y＝｜x｜与 这五组函数中，只有⑤表示同一函数。

f（x）与f（a）的区别与联系

f（a）表示当x＝a时函数f（x）的值，是一个常量。而f（x）是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量，f（a）是f（x）的一个特殊值。如一次函数f（x）＝3x＋4，当x＝8时，f（8）＝3×8＋4＝28是一常数。

当法则所施加的对象与解析式中表述的对象不一致时，该解析式不能正确施加法则。

比如f（x）＝x2＋1，左端是对x施加法则，右端也是关于x的解析式，这时此式是以x为自变量的函数的解析式；而对于f（x＋1）＝3x2＋2x＋1，左端表示对x＋1施加法则，右端是关于x的解析式，二者并不统一，这时此式既不是关于x的函数解析式，也不是关于x＋1的函数解析式。

函数的定义域：

定义：

原象的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域，即自变量的允许值范围。

当函数用解析式给出时，定义域就是使式子有意义的自变量的允许值的集合。

求定义域：

求定义域的三种基本方法：

一是依据函数解析式中所包含的运算（除法、开平方等）对自变量的制约要求，通过解不等式（组）求得定义域；

二是依据确定函数y＝f（x）的对应法则f对作用对象的取值范围的制约要求，通过解不等式（组）求得定义域；

三是根据问题的实际意义，规定自变量的取值范围，求得定义域。

如果函数是由一些基本函数通过四则运算构成的，那么它的定义域是使各个部分都有意义的x值组成的集合。对含参数的函数求定义域（或已知定义域，求字母参数的取值范围）时，必须对参数的取值进行讨论。

当函数由实际问题给出时，其定义域由实际问题确定。

函数的值域：

定义：

象的集合C（C B）叫做函数y＝f(x)的值域，即函数值的变化范围。

求值域的基本方法：

依据各类基本函数的值域，通过不等式的变换，确定函数值的取值范围，在这一过程中，充分利用函数图像的直观性，能有助于结论的得出和检验。从定义域出发，利用函数的单调性，是探求函数值域的通法

Answer 3

多值函数
从输入值集合X到可能的输出值集合Y的函数f (记作f:X→Y) 是X与Y的关系，满足如下条件：
对X中任一元素x都有集合Y中的元素y满足x与y是f相关的。即，对每一个输入值，Y中都有至少一个与之对应的输出值。
则此函数为多值函数。
多值函数与函数的定义有关问题：
1.函数是指实数集对实数集的映射，而从映射的角度出发是定义域中的每个元素只能有一个像。多值函数的一个X可以有两个Y与之对应，这是否与函数的定义相违背？
2.多值函数是不是函数?
如下：
1.并非矛盾因为：
函数是一种关系，这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）集合里的唯一元素（这只是一元函数f（x）＝y的情况，请按英文原文把普遍定义给出，谢谢）。函数的概念对于数学和数量学的每一个分支来说都是最基础的。
术语函数，映射，对应，变换通常都是同一个意思。
多值函数从输入值集合X到可能的输出值集合Y的函数f (记作f:X→Y) 是X与Y的关系，满足如下条件：
对X中任一元素x都有集合Y中的元素y满足x与y是f相关的。即，对每一个输入值，Y中都有至少一个与之对应的输出值。
你认为的矛盾是已经从某种意义上把多值函数归为函数范畴了，如果你把术语函数换成对应来就好理解，对应和多值对应从字面意思就能看出他们所指并不一样，所以并不存在矛不矛盾的话题。就相当于解释什么是‘维’‘一维’‘二维’‘多维’一样。
2.问题出在函数的定义里，在早些年出版的教材里，函数的定义里没有“唯一”两个字，因此函数就有单值函数与多值函数的区分，按那种定义，多值函数是函数；近年出版的教材里，函数的定义里有“唯一”两字，因此函数都是单值的，从这个意义上说，多值函数就不是函数了。
这实际上并没有涉及数学的本质问题，因为在多值函数是函数的概念下，多值函数也是需要分拆成若干个单值函数再进行研究的；在函数都是单值函数的概念下，方程确定的隐函数也仍然会遇到多值的情形，还是需要分拆成单值的情形来研究。
这种定义的改变，并没有改变数学问题的实质，其实是无关紧要的，只是给数学的初学者带来困惑而已，我以为这种定义的改变是没有多大意思的，就象0是不是自然数的问题一样，讨论它有什么意思呢？

参考资料：http://baike.baidu.com/view/561700.htm?fr=ala0_1

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Answer 4

一个函数确定了`` 那么它可以有多个X值`对应一个Y值 但是一个X不可能会有几个Y值` `

Answer 5