数学分析问题：应用Taylor公式求极限过程解答

Question

如题所述

Answer 1

首先要注意，这里的余项要用小写的o，大O和小o是不同的记号，如果没搞懂可以看一下
http://zhidao.baidu.com/question/325876350.html

这里以tan为例
tanx = x + x^3/3 + o(x^3)
tan(tanx) = tan[x + x^3/3 + o(x^3)] = [x + x^3/3 + o(x^3)] + [x + x^3/3 + o(x^3)]^3/3 + o([x + x^3/3 + o(x^3)]^3)
然后注意o([x + x^3/3 + o(x^3)]^3)=o(x^3)（这个必须要会看，想不明白就用定义验证）
所以
tan(tanx) = tan[x + x^3/3 + o(x^3)] = [x + x^3/3 + o(x^3)] + [x + x^3/3 + o(x^3)]^3/3 + o(x^3)
此时整个式子里高于3阶的量都没用了，因为都属于o(x^3)，所以对第二项化简的时候也只需要到3阶，这样一来
[x + x^3/3 + o(x^3)]^3/3 = [x^3 + 3x^2(x^3/3) + ... ]/3 = x^3/3+o(x^3)