第八题二重积分设f(x,y)为连续函数,且F(t)=∬f(x,y)d∂，

Question

如题所述

Answer 1

解析
由f（x，y）的连续性可得f（x，y）在积分区域x2+y2≤a2上的可积性；设
∬
x2+y2≤a2
f(x，y)dxdy＝A，利用已知等式可得A=
∬
x2+y2≤a2
(Ax+y2)dxdy；计算二重积分可得A的值，进而得到f（x，y）的表达式．
解答
因为f（x，y）连续，从而f（x，y）在积分区域x2+y2≤a2上可积，故可设
∬
x2+y2≤a2
f(x，y)dxdy＝A，
于是f（x，y）=xA+y2，
从而两边在区域x2+y2≤a2上积分可得如下等式：
A=
∬
x2+y2≤a2
(Ax+y2)dxdy
=A
∬
x2+y2≤a2
xdxdy+
∬
x2+y2≤a2
y2dxdy．
利用积分区域的对称性可得，
∬
x2+y2≤a2
xdxdy=0．
利用极坐标系计算可得，
∬
x2+y2≤a2
y2dxdy=
∫
2π
0
dθ
∫
a
0
r2sin2θ•rdr
=4
∫
π
2
0
sin2θdθ
∫
a
0
r3dr
=4•
1
2
•
π
2
•
a4
4
=
πa4
4
．
因此，f(x，y)＝
π
4
xa4+y2．
故答案为：
π
4
a4x+y2．

Answer 2

左边=∫[a→b]
f(x)dx∫[a→b]
1/f(x)dx
定积分可随便换积分变量
=∫[a→b]
f(x)dx∫[a→b]
1/f(y)dy
=∫∫(d)
f(x)/f(y)
dxdy
其中：d为a≤x≤b,a≤y≤b
该积分区域为正方形区域,关于y=x对称,则满足轮换对称性,即：∫∫
f(x)/f(y)dxdy=∫∫
f(y)/f(x)dxdy
=(1/2)∫∫(d)
[f(x)/f(y)
+
f(y)/f(x)]
dxdy
由平均值不等式
≥∫∫(d)
1
dxdy
被积函数为1,积分结果是区域面积
=(b-a)²
=右边

Answer 3

分享一种解法。设x=ρcosθ，y=ρsinθ。∴D={(ρ,θ)丨0≤ρ≤t，0≤θ≤2π}。
∴F(t)=∫(0,2π)dθ∫(0,t)f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρ。
两边对t求导，F'(t)=∫(0,2π)tf(tcosθ,tsinθ)dθ。
供参考。