伟达定理求根公式

Question

如题所述

Answer 1

伟达定理，也称为维达定理（Vieta’s formula），是一个与多项式的系数和根之间的关系定理。

这个定理由法国数学家弗朗索瓦·维达（François Viète）在16世纪提出。伟达定理给出了多项式的根与系数之间的关系，特别是它给出了多项式的根的和与乘积与多项式的系数之间的关系。下面是伟达定理的表述和推导：

假设我们有一个n次多项式：

p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_1x+a_0

其中，a_n，a_{n-1}，…，a_1，a_0是多项式的系数。

令r_1，r_2，…，r_n为多项式的根。

根据伟达定理，我们有以下关系：

r_1 + r_2 + … + r_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n}

r_1 \cdot r_2 \cdot … \cdot r_n = (-1)^n \cdot \frac{a_0}{a_n}

这意味着，多项式的根的和等于系数a_{n-1}除以系数a_n的相反数，而多项式的根的乘积等于系数a_0除以系数a_n的相反数的乘以(-1)^n。

伟达定理作为数学中的一个重要定理，对社会产生了广泛的影响

1、科学研究：维达定理在数学中的应用不仅限于多项式的根与系数之间的关系，还扩展到了其他领域，如线性代数和数论等。

2、工程应用：维达定理在工程领域的应用广泛而重要。例如，在电路设计中，维达定理可以用来确定电路的传输函数和频率响应，从而帮助工程师设计和优化电路性能。