关于对数运算的几个问题

Question

设f(x)=log [a] x 为对数函数,g(x)=a^x 为指数函数.
{log [a] x 表示以a为底x的对数. a>0且a≠1 x>0}
(1)对数运算律运用到指数
由于对数运算源于指数运算,因此对数运算律对指数运算也应一一对应.(事实上对数运算律就是用指数运算证明的)
对数运算律1: log [a] (M*N)=log [a] M+log [a] N
即:f(M*N)=f(M)+f(N)
对数运算律2: log [a] (M/N)=log [a] M-log [a] N
即:f(M/N)=f(M)-f(N)
对数运算律3: log [a] (M^N)=N*log [a] M
即:f(M^N)=N*f(M)
即对真数的运算在“拿出”真数时会“降级”.
指数运算律 1:a^(M+N)=(a^M)*(a^N)
即:g(M+N)=g(M)*g(N)
指数运算律 2:a^(M-N)=(a^M)/(a^N)
即:g(M-N)=g(M)/g(N)
指数运算律 3:a^(M*N)=N*(a^M)
即:g(M*N)=N*g(M)
即对指数的运算在“拿出”指数时会“升级”.
可见对数运算律与指数运算律是一一对应的.
如a^(log [a] M)=N <==> log [a] (a^N)=N
但是对数换底公式 log [a] b=(log [c] b)/(log [c] a) <==>?
(2)第零,四级运算?
由(1)中的条件知 对真数的运算在“拿出”真数时会“降级”, 对指数的运算在“拿出”指数时会“升级”.
那么如果 真数的运算为第一级运算(+或-),在“拿出”真数时会“降级”成“第零级运算”?
f(M+N)=?
同理如果 指数的运算为第三级运算(^),在“拿出”指数时会“升级”成“第四级运算”?
g(M^N)=?
答案最好是简洁的规律

Answer 1

(1)对数换底公式 log [a] b=(log [c] b)/(log [c] a)
因为a^(log [a]b)=b
所以右边= (log [c] b)/(log [c] a)
={log[c] a^(log [a] b)}/(log [c] a)
(根据对数的概念，若a^b=c,则 log [a] c = b )

={(log [a] b)*(log[c] a)}/(log [c] a)
(对数运算律3: log [a] (M^N)=N*log [a] M)

=log [a] b

(2)如果 真数的运算为第一级运算(+或-),在“拿出”真数时不会“降级”成“第零级运算”，f(M+N)=log [a] (M+N)；
如果 指数的运算为第三级运算(^),在“拿出”指数时会“升级”成“第四级运算”,g(M^N)=[a ^M ] ^[ M^ (N-1)] = a ^ (M ^N)