什么是等价无穷小？

Question

如题所述

Answer 1

等价无穷小就是：在同一自变量的趋向过程中，若两个无穷小之比的极限为1，则称这两个无穷小是等价的。

等价无穷小是无穷小之间的一种关系，无穷小等价关系刻画的是两个无穷小趋向于零的速度是相等的。等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。

求极限时，使用等价无穷小的条件：

1、被代换的量，在取极限的时候极限值为0。

2、被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。

等价无穷小代换：

等价无穷小代换，是求极限过程中经常用到的一种方法，它实际上就是泰勒公式展开的前一项或前两项。其原理，是基于“等价无穷小”的定义以及“极限的乘法、除法运算法则”。

用等价无穷小代换求极限时，乘积项可以直接代换，而和差项不能直接代换，但可以作为整体代换。和差项不能直接代换，因为和差项直接代换，可能会忽略掉不能忽略的高阶项。

等价无穷小的本质是约分，为了这个约分，要用极限的四则运算法则，把被约分的式子和用来约分的式子乘在一起。所以等价无穷小的唯一正确用法是把整个式子乘上一个极限为1的式子，然后利用极限的乘法等于乘法的极限。