设x1²、x2²、x3².。。x2006是整数

Question

设x1²、x2²、x3².。。x2006是整数

且满足

xn大于等于-1小于等于2 n=1，2，3..........2006

x1+x2+x3+x2006=200

x1²+x2²+......+x2006²=2006

求x1³+x2³+x3³+x4³+x5³+.....x2006³的最值。

Answer 1

最大值是2402，最小值是200。

x1,x2,...,x2006的取值范围就是-1,0,1,2四个，可以设值为-1的有a个，0的有b个，1的有c个，2的有d个。

所以原条件转化成了四元一次方程组：
a+b+c+d=2006（1）
-a+c+2d=200（2）
a+c+4d=2006（3）
求-a+c+8d的最大值、最小值

由(1),(2),(3)可知：
b=3d, c=1103-3d, a=903-d
用d表示-a+c+8d，得到：200+6d，

再求d的取值范围：
903-d>=0得知：d<903
1103-3d>=0得知：d<=367
而d>=0
d最小可以取到0，因此得到的最小值是200
d最大可以取到367，因此得到的最大值是2402