代数拓扑，一种揭示空间秘密的数学语言，通过代数结构的不变量，深入剖析空间的洞性和维度特征。它以基本群和奇异同调群为核心，揭示空间的内在结构。
1.1 基本群的构造与洞察 - 代数拓扑的基石，基本群是基于任意点的闭路类群，它直观地刻画了空间的“洞”特性。虽然计算起来颇具挑战，但它是维同伦群的自然扩展，推动了丰富多样的计算方法的发展。
函子性质揭示隐藏联系 - 持续的映射不仅影响空间的形态，也决定了基本群的演变。对于同胚空间，基本群之间存在着深刻的结构联系，形成空间范畴与群范畴间的协变函子关系。
同伦不变性的力量 - 一个空间的形状变化如果通过同伦等价进行，那么其基本群的结构也会保持不变。这是代数拓扑的一个基本原理，它确保了空间性质的代数描述的稳定性。
计算的钥匙：Van-Kampen定理 - 当面对特定空间时，Van-Kampen定理就像一把打开基本群计算之锁的钥匙，帮助我们理解复杂空间的代数结构。
转向奇异同调：维度的语言 - 除了基本群，奇异同调群是描述空间“洞”维度的另一重要工具。例如，2维闭曲面的基本群，就为我们揭示了这一概念的实际应用。
2.1 奇异同调的构造与维度描述 - 奇异同调群通过维奇异链复形和边缘同态构建，是空间维度洞洞数量的数学体现。它作为拓扑空间范畴到Abel群范畴的协变函子，彰显了其代数不变性。
同调不变性的坚固性 - 同伦等价的拓扑空间，其奇异同调群的结构同样保持一致，这是代数拓扑对空间连续变化的深刻洞察。
计算工具：长正合序列和切除定理 - Mayer-Vietoris序列，即M-V序列，是计算同调群的强大工具，特别是对于像环面这样的特定空间。空间偶的切除定理则进一步补充了这些工具，通过构造新空间偶的长正合序列，可以解锁隐藏的群信息。
实例与应用：Euler示性数的揭示 - 在紧流形中，Euler示性数作为同伦不变量，与Betti数和Euler-Poincaré公式紧密相连。三维凸多面体的Euler示性数，经典欧拉定理提供了简洁的计算公式，展现了代数拓扑的实用性。