解:由题设条件,可知是求“在2x²+y²+y=6的条件下,求z=x²+2y²的最大值与最小值”。
①作拉格朗日函数F(x,y)=z+λ(6-2x²-y²-y)=x²+2y²+λ(6-2x²-y²-y)。
②求极值点。由F(x,y)分别对x、y、λ求导,并令其值等于0,∂F(x,y)/∂x=2x-4λx=0、∂F(x,y)/∂y=4y-λ(2y+1)=0、6-2x²-y²-y=0。解方程组,得x=0、y=2,y=-3。∴可能极值点为(0,2)、(0,-3)。
③得出结论。∵x=0、y=2时,z=8;x=0、y=-3时,z=18。∴zmax=18,zmin=8。
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