微分形式的定义

Question

如题所述

Answer 1

微分形式是微分几何学中最基本的概念。 我们首先以n维 欧氏空间R^n为例， 来解释微分形式。 设（x_1,...x_n)是欧氏空间坐标。 在这个空间中， 我们有自然的度量， 即欧几里得度量, 它的微分表达式为
ds^2=dx_1^2+...dx_n^2。 这里dx_i是传统的一阶微分。而 dx_i^2 指的是 dx_i和它自己的在域R上的张量积。类似地，ds是无穷小向量dr的模长，而ds^2是ds和自己在域R上的张量积。
把dx_1（p）,...dx_n （p）作为基向量，其中，p为R^n中的一个点，以实常数为系数，可以生成域R上的一个n维的向量空间T^*， 称为R^n在点p的余切空间，在线性同构的意义下，它就是R^n自己而已；而如果把系数由常数换成点p所在的开邻域上的实值函数，则上述的n个基向量可以生成函数环上的一个n秩的模，叫做一阶外微分形式模。在代数几何中，这个模是很常用的。
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另一方面， 对一个n维向量空间V, 假设e1, ...,e_n 是基向量. 我们可以定义r次外积空间A^r(V), 这个空间由以下形式的外积（有时也称楔积）作为基元素生成：e_{i1}∧e_{i2}∧...e_{ir}, 这里1≦i1≦i2≦...≦ir≦n.
今取V=T^*, 则A^r(T^*)中的元素称为r次微分形式， 它可以写成基元素dx_{i1}∧dx_{i2}∧...dx_{ir}的线性组合。 这里每个基元素前的系数可以视作坐标（x_1,...x_n） 的函数。
微分形式的概念也可以从欧氏空间推广到微分流形上。所有微分形式放在一起构成一个外代数。