高数 广义积分收敛 求参数p范围

Question

如题所述

Answer 1

解：分享一种解法，利用欧拉积分【贝塔函数B(a,b)=∫(0,1)[x^(a-1)](1-x)^(b-1)]dx，在a>0，b>0时收敛】的性质求解。
设x=2/t，∴原式=[1/2^(2p-2)]∫(0,1)[t^(2p-3)](1-t)^(1-p)dt。
而，对贝塔函数B(a,b)，在a>0，b>0时收敛，∴2p-3>-1、1-p>-1时，该广义积分收敛。
故，1<p<2时，收敛。
供参考。

Answer 2

这个积分有两个奇点X=2和+无穷，不能直接判别，拆成两个积分就可以了，具体做法是拆成2到3的积分和3到正无穷的积分，然后根据等价无穷小和等价无穷大观点和P积分收敛域对比即可得到收敛域。