e的-x^2方的定积分怎么算？

Question

如题所述

Answer 1

解：
设积分域为
x
∈(-∞，+∞)
令：
F
=
(-∞，+∞)∫e^(-x²)dx
同样
F=
(-∞，+∞)∫e^(-y²)dy
由于x,y是互不相关的的积分变量，因此：
F²
=
(-∞，+∞)∫e^(-x²)dx
*
(-∞，+∞)∫e^(-y²)dy
=
[D]∫∫e^(-x²)*dx
*
e^(-y²)*dy
=
[D]∫∫e^[-(x²+y²)]*dx
*dy
式中积分域D
=
{(x,y)|x
∈(-∞，+∞),y∈(-∞，+∞)}
对x，y进行极坐标变换，则:
x²+y²
=
ρ²；dxdy
=
ρ*dρ*dθ
F²
=
[D]∫∫e^[-(x²+y²)]*dx
*dy
=
[0,+∞)[0,2π]∫∫e^(-ρ²)
ρ*dρ*dθ
=
[0,2π]∫dθ
*(0,+∞)∫e^(-ρ²)
ρ*dρ
=
2π*
1/2*[0,+∞)*∫e^(-ρ²)
*dρ²
=
π
因此
F
=
(-∞，+∞)∫e^(-x²)dx
=
√π

Answer 2

是不是可以这样
设exp[x^(-2)]=t
则-2[x^(-3)]*exp[x^(-2)]=-2[x^(-3)]t
两边积分
左=exp[x^(-2)]=t
右=[x^(-2)]t+2[x^(-3)]*∫
t
∫
t=[1-x^(-2)]t/{2[x^(-3)]}=(tx^3)/2-xt/2=(t/2)(x^3-x)
x在[-1,0)和(0,2]分段积分时，会发现正好正负值抵消，直接从[1,2]积分
∫
t=exp(0.25)*(8-2)/2=3exp(0.25)
希望计算没有错吧，好久不算微积分了