将函数f(x)＝sinx^2展开成麦克劳林级数

Question

如题所述

Answer 1

解答：题设函数的各阶求导：
f^(n)(x)=(1/2)^n*sin(1/2x+nπ/2)
；其中n=0、1、2、3、……
而：
f^(n)(0)取值为：0、1/2、0、-1/8、0、1/32……；（n=0、1、2、3、……）
因此f（x）的迈克劳林级数为：
f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/2!+……+f^(n)x^n/n!+……；
具体代入：
0+x/2+0-(x^3/8)/3!+0+(x^5/32)/5!-……+(-1)^n(1/2)^nx^(2n+1)/(2n+1)!+……
化简：x/2-(x^3/8)/3!+(x^5/32)/5!-……+(-1)^n(1/2)^nx^(2n+1)/(2n+1)!+……
该级数的收敛半径为r=+无穷大；
检验：|x-x0|
无穷）
因此，综上可得：
y=sinx/2的展开幂次级：
sinx/2=x/2-(x^3/8)/3!+(x^5/32)/5!-……+(-1)^n(1/2)^nx^(2n+1)/(2n+1)!+……（注x∈r）
但愿对你有帮助！！！！！！！！祝你学习进步！！！

Answer 2

如果是f(x)=sinx²，那根据sinx=x-x³/3!+x^5/5!-....得：
sinx²=x²-x^6/3!+x^10/5!-....
如果是f(x)=(sinx)²=(1-cos2x)/2, 那根据cosx=1-x²/2!+x^4/4!-..., 得：
(sinx)²=1/2[2²x²/2!-2^4x^4/4!+....]=x²-2³x^4/4!+2^5x^6/6!-.....本回答被网友采纳