解析如下：
设⊙A, ⊙B半径分别为a, b。
半径为r的⊙P与二者都外切, 则有AP = a+r, BP = b+r。
相减得AP-BP = a-b, AP-BP为定值。
因此圆心P的轨迹为以A, B为焦点, 实轴长|a-b|的双曲线的一支。
同样讨论易知, 与⊙A, ⊙B都内切的圆的圆心的轨迹是该双曲线的另一支。
此外还有与⊙A, ⊙B分别内切外切的圆, 其圆心的轨迹是以A, B为焦点, |a+b|为实轴的另一双曲线。
作图步骤很简单, 比如作与两圆都外切的圆 (其它相切情况作法都是类似的)。
（1）任取r ≥ |a-b|。
（2）以A为圆心作半径a+r的圆, 以B为圆心作半径b+r的圆, 两圆交于点P(两个交点可任取一个)。
（3）连接PA, 交⊙A于C。
（4）以P为圆心PC为半径作⊙P, 则与⊙A, ⊙B都外切。
理由: 由作图法知PA = a+r, PB = b+r。
于是⊙P半径PC = PA-AC = r。
P到⊙A, ⊙B的圆心距分别等于半径和a+r与b+r, 故与二者都外切。
另外, 图中画出了P的轨迹, 是双曲线的一支。
下图显示了4种相切情况, 并画出了圆心轨迹。
拓展资料：
1、外切圆是针对另一个圆来说的，如果两个圆只有一个公共点，且圆心的距离等于两个圆半径的和，这两个圆互为外切圆。两圆外切时，有3条公切线。
2、作图方法：连接圆心和圆外的点交圆周于一点，以这一点与圆外的点为半径，以圆外的点为圆心画圆即可。
3、关于内切圆和外切圆：只有两圆相切时,才有内切圆和外切圆之说。两圆心之间距离为两圆半径之差的是内切圆，两圆圆心距离为两圆半径之和的为外切圆。即,当且仅当圆内有圆或椭圆时,才有外切圆概念。内接圆是不存在的，内接图形只能是圆以外的几何图形，如内接三角形、正方形等。
参考资料：百度百科：外切圆