初三的数学题,谢谢

Question

如题所述

Answer 1

（1）延长BD至E，使BE=AB，连接AE、CE，然后证明△ABE是等边三角形，根据等边三角形的性质可得AE=AB，∠AEB=60°，然后证明∠DCE=∠DEC，根据等角对等边的性质可得DE=CD，从而得到BE=BD+CD，再根据等边三角形的三条边都相等得解；
（2）过点A作AE⊥AB交BD的延长线于点E，连接CE，然后证明△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AB=AE，∠AEB=45°，然后证明∠DCE=∠DEC，根据等角对等边的性质可得DE=CD，从而得到BE=BD+CD，再根据等腰直角三角形斜边与直角边的关系得解；
（3）过点A作AF⊥BD于点F，延长BD到E，使EF=BF，连接AE、CE，根据等腰三角形三线合一的性质可得AB=AE，然后证明∠DCE=∠DEC，根据等角对等边的性质可得DE=CD，从而得到BE=BD+CD，再根据∠ABD的余弦等于邻边比斜边列式整理即可得解．

 

解：（1）如图1，延长BD至E，使BE=AB，连接AE、CE，
∵∠ABD=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB，∠AEB=60°，
∵AB=AC，
∴AC=AE，
∴∠ACE=∠AEC，
∵∠ACD=60°，
∴∠ACE-∠ACD=∠AEC-∠AEB，
即∠DCE=∠DEC，
∴DE=CD，
∴BE=BD+DE=BD+CD，
∴AB=BD+CD；
故答案为：AB=BD+CD；

（2）猜想：AB=   （BD+CD）．
理由如下：如图2，过点A作AE⊥AB交BD的延长线于点E，连接CE，
∵∠ABD=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=AB，∠AEB=45°，
∵AB=AC，
∴AC=AE，
∴∠ACE=∠AEC，
∵∠ACD=45°，
∴∠ACE-∠ACD=∠AEC-∠AEB，
即∠DCE=∠DEC，
∴DE=CD，
∴BE=BD+DE=BD+CD，

在Rt△ABE中，AB=BE•cos∠ABD=（BD+CD）•cos45°=

 

（BD+CD），
即AB= （BD+CD）；

（3）如图3，过点A作AF⊥BD于点F，延长BD到E，使EF=BF，连接AE、CE，
则AE=AB（等腰三角形三线合一），
∴∠AEB=∠ABD=β，
∵AB=AC，
∴AC=AE，
∴∠ACE=∠AEC，
∵∠ACD=β，
∴∠ACE-∠ACD=∠AEC-∠AEB，
即∠DCE=∠DEC，
∴DE=CD，
∴BE=BD+DE=BD+CD，
在Rt△ABF中，AB•cos∠ABD= BE，
即AB•cosβ= （BD+CD）．