(((p')^T)*(A^T)*A*(p'))对p求偏导等于多少

Question

在利用假设模态法和拉格朗日法求解动力学方程时遇到这个问题，烦请各位大佬指点一下
补充：p'是指p向量对时间t的一阶导

Answer 1

首先，让我们来计算(((p')^T)*(A^T)A(p'))对p的偏导数。其中，p是一个向量，A是一个矩阵，p'表示向量p的转置。
假设模态法和拉格朗日法是求解动力学方程的两种数学方法，这里我们将使用假设模态法和拉格朗日法来计算(((p')^T)*(A^T)A(p'))对p的偏导数。
首先，我们可以使用链式法则来计算这个表达式的偏导数。根据链式法则，对于复合函数 f(g(x))，其导数可以表示为 f'(g(x)) * g'(x)，其中 f' 表示 f 对 g 的导数，g' 表示 g 对 x 的导数。
对于这个问题中的表达式 (((p')^T)*(A^T)A(p'))，我们可以将其看作是复合函数 f(g(h(p)))，其中：
f(x) = x，即 f 对 x 的导数为 1；
g(x) = x^T，即 g 对 x 的导数为 x 的转置 p'；
h(x) = A^T * A * x，即 h 对 x 的导数为 A^T * A。
因此，根据链式法则，我们可以得到：
(((p')^T)*(A^T)A(p'))对p的偏导数 = f'(g(h(p))) * g'(h(p)) * h'(p)
= 1 * p' * (A^T * A)
= (A^T * A) * p'
所以，(((p')^T)*(A^T)A(p'))对p的偏导数为 (A^T * A) * p'。追问

抱歉，上面我题意中未指明，其中p'是指p向量对时间t的一阶导

追答

根据给出的表达式 (((p')^T)*(A^T)A(p')), 对向量 p 求偏导数需要使用向量微积分的规则。假设 p 是 n 维向量，即 p = [p₁, p₂, ..., pₙ]，其中 p' 是 p 对时间 t 的一阶导数，也是一个 n 维向量，即 p' = [dp₁/dt, dp₂/dt, ..., dpₙ/dt]。
根据链式法则，对于向量的乘积，偏导数可以分别对每个分量进行计算，然后组合起来形成一个向量。对于表达式 (((p')^T)*(A^T)A(p'))，其中 ^T 表示向量的转置，A 是一个矩阵，需要依次对 p 和 p' 中的每个分量求导。
偏导数 (((p')^T)*(A^T)A(p')) 对 p 的偏导数可以表示为：
∂(((p')^T)*(A^T)A(p'))/∂p = (2 * A^T * A * p')
其中 ∂/∂p 表示对 p 向量中的每个分量分别求偏导数，A^T 表示 A 的转置，* 表示矩阵乘法，' 表示向量的转置。
注意，这只是关于 p 向量的偏导数，如果要求关于时间 t 的偏导数，还需要使用链式法则继续计算 p' 对 t 的导数 dp'/dt，并代入到上述公式中计算。
需要注意的是，利用假设模态法和拉格朗日法求解动力学方程可能涉及到更复杂的数学和物理知识，具体的步骤和计算可能因具体问题而异。建议在具体求解时参考相应的文献、教材或咨询专业人士以获得准确的结果。