初等矩阵都是可逆矩阵吗

Question

如题所述

Answer 1

初等矩阵都是可逆矩阵，且其逆仍是初等矩阵；但可逆矩阵不一定是初等矩阵。

初等矩阵都是可逆矩阵的原因：

初等矩阵都是可逆矩阵。是否可逆看它的行列式是否为零，因为初等矩阵行列式都为1，所以都可逆。

初等矩阵的介绍：

初等矩阵，又称为基本矩阵，是线性代数中的名词。是指由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵。初等矩阵的模样可以写一个3阶或者4阶的单位矩阵。初等矩阵都可逆，初等矩阵的逆矩阵其实是一个同类型的初等矩阵（可看作逆变换）。

初等矩阵的变换：

初等矩阵的变换分为三种，一是交换矩阵中某两行（列）的位置；二是用一个非零常数k乘以矩阵的某一行列；三是将矩阵的某一行（列）乘以常数k后加到另一行（列）上去。

可逆矩阵的介绍：

可逆矩阵是一种存在且唯一存在逆阵的特殊矩阵。若方阵的逆阵存在，则称为可逆矩阵或非奇异矩阵，且其逆矩阵唯一。矩阵可逆的条件是：AB=BA=E。在线性代数中，给定一个n阶方阵A，若存在一n阶方阵B使得AB=BA=E(或AB=E、BA=E任满足一个)，其中E为n阶单位矩阵，则称A是可逆的。

应用：

1、在解线性方程组中的应用

初等行变换不影响线性方程组的解，也可用于高斯消元法，用于逐渐将系数矩阵化为标准形。初等行变换不改变矩阵的核故不改变解集，但改变了矩阵的像。反过来，初等列变换没有改变像却改变了核。

2、用于求解一个矩阵的逆矩阵

有的时候，当矩阵的阶数比较高的时候，使用其行列式的值和伴随矩阵求解其逆矩阵会产生较大的计算量。这时，通常使用将原矩阵和相同行数（也等于列数）的单位矩阵并排，再使用初等变换的方法将这个并排矩阵的左边化为单位矩阵，这时，右边的矩阵即为原矩阵的逆矩阵。