5.求过点P(-1,2,3)且与平面x-y+x=0和2x+y+z+1=0都垂直的平面方程(20分)

Question

如题所述

Answer 1

首先求出平面 $x-y+z=0$ 和平面 $2x+y+z+1=0$ 的法向量。根据向量的性质，法向量垂直于平面。
对于平面 $x-y+z=0$，法向量为 $(1,-1,1)$。
对于平面 $2x+y+z+1=0$，法向量为 $(2,1,1)$。
由于所求平面同时垂直于这两个平面，因此该平面的法向量应该垂直于 $(1,-1,1)$ 和 $(2,1,1)$，因此它应该与这两个向量的叉积垂直。
计算出这两个向量的叉积，即：
$$(1,-1,1) \times (2,1,1) = (-2,-1,-3)$$
得到法向量为 $(-2,-1,-3)$，因此平面的方程为：
$$-2x-y-3z+d=0$$
将点 $P(-1,2,3)$ 带入方程得到：
$$-2 \times (-1) - 2 \times 2 - 3 \times 3 + d = 0$$
解得 $d=1$，因此平面的方程为：
$$-2x-y-3z+1=0$$
即：
$$2x+y+3z-1=0$$
因此，过点 $P(-1,2,3)$ 且垂直于平面 $x-y+z=0$ 和平面 $2x+y+z+1=0$ 的平面方程为 $2x+y+3z-1=0$。