第115题连续函数求极限，答案是什么意思呢？

Question

第一步就列了那么大一个大括号，看不懂，还有后面第二步f(-1-0).......都是什么意思，怎么来的呢？谢谢。

Answer 1

给你画个图，看能否看懂：

前面的大括号，就是根据x的不同取值范围，确定函数极限值范围。因为存在x^2n这样的函数，必须先把极限去掉，否则无法判断连续性。

如果|X|<1，那么x^2n、x^（2n-1）的极限为0，则：f（x）=ax²+bx。

|x|>1，极限符号内的表达式同除以x^（2n-1）→∞，分子为1+（ax²+bx）/∞=1；分母为x+1/∞=x，所以f（x）=1/x。

采用这样的方法先把极限符号去掉。但是，从图中明显看出，函数的图像还存在两个疑似间断点，即x=-1和x=1。要保证函数连续，在这两个点的函数值=左极限值=右极限值，才能说函数连续。

1、对于x=-1这个点，将x=-1代入原来的极限表达式，得到函数值：f（-1）=（a-b-1）/2。

左极限（即图中的左趋向），在解答中用了f（-1-0）来表示，实际上其中的-0应该是上标，表示左趋向，印刷没有体现出来。计算方法就是把x=-1代入f(x)=1/x的表达式；

右极限（即图中的右趋向），在解答中用了f（-1+0）来表示，实际上其中的+0应该是上标，表示右趋向，印刷没有体现出来。计算方法就是把x=-1代入f(x)=ax²+bx的表达式。

依次可列出方程，求解a、b。

2、对于x=1这个点，处理方法与1、中一样的。

从中可以看出，实际得到的时4个方程，必然可以求解出a、b的值。需要说明的是，如果出现矛盾的方程——毕竟四个方程两个未知数——那么函数不可能连续。

追问

太谢谢您了，真是太详细啦。大都看懂了，就是还有一个疑问，这个大括号里的x的取值范围，如果换成了别的题目，要怎么选择呢？应该不会每次都是绝对值x大于小于1，x=1和x=-1吧？谢谢。🙏

追答

当然不是。大括号的目的，是为了求出极限表达式，也就是将lim去掉。不同的题目需要不同的方法，但是目的是一样的。至于x=1和x=-1，实际上就是找到的可能的间断点。按照这原则去做，就可以了。

追问

谢谢🙏