高一数学函数奇偶性的一道解答题

Question

已知函数f(x)=ax+b/1+x2是定义在（-1，1）上的奇函数 且f(?)=2/5
①确定函数f(x)的解析式
②用定义证明f(x)在（-1，1）上是增函数
③解不等式f(t-1)+f(t)＜0

Answer 1

解：
1、f(x)=(ax+b)/(1+x^2)
因为：f(x)是奇函数，
所以：f(0)=b=0，即：f(x)=ax/(1+x^2)。
又因为f(1/2)=2/5
所以：a(1/2)/(1+(1/2)^2)=2/5
即：a(1/2)/(1+1/4)=a(2/5)=2/5
所以：a=1
所以，所求解析式为：f(x)=x/(1+x^2)。

2、设x1＜x2，且x1,x2∈(-1,1)
f(x2)-f(x1)=x2/(1+x2^2)-x1/(1+x1^2)
=[x2(1+x1^2)-x1(1+x2^2)]/[(1+x1^2)(1+x2^2)]
显然，上式中分母＞0，我们只需考查分子。
分子=x2+x2(x1^2)-x1-x1(x2^2)
=(x2-x1)-x1x2(x2-x1)
=(x2-x1)(1-x1x2)
因为x1,x2∈(-1,1)，所以x1x2＜1，即：1-x1x2＞0
又因为x1＜x2，所以x2-x1＞0
所以：当x2＞x1时，f(x2)＞f(x1)
即：在(-1,1)定义域内，f(x)是增函数。

补充答案：
呵呵，楼主提出了第三问。那我就试试。
3、解不等式f(t-1)+f(t)＜0
解法一：因为：f(x)=x/(1+x^2)。
所以不等式变为：
(t-1)/(1+(t-1)^2)+t/(1+t^2)＜0
[(t-1)(t^2+1)+t((t-1)^2+1)]/[(1+(t-1)^2)(1+t^2)]＜0
因为分母＞0，
所以(t-1)(t^2+1)+t((t-1)^2+1)＜0
即：2t^3-3t^2+3t-1＜0
t^3+(t-1)^3＜0
t^3-(1-t)^3＜0
因为t-1,t∈(-1,1)，所以t∈(0,1)。
所以上述不等式变为
t^3＜(1-t)^3
t＜1-t
2t＜1
t＜1/2
前面我们有t∈(0,1)，
所以，不等式的解为：
0＜t＜1/2

解法二：因为f(x)是奇函数，即：f(-x)=-f(x)
所以不等式变为f(t-1)＜f(-t)
又因为：f(x)=x/(1+x^2)
所以：(t-1)/(1+(t-1)^2)＜-t/(1+t^2)
(t-1)(t^2+1)＜-t((t-1)^2+1)
t^3-t^2+t-1＜-t^3+2t^2-2t
t^3＜-(t^3-3t^2-3t-1)
t^3＜-(t-1)^3
t＜-(t-1)
所以：t＜1/2。
又因为：对于f(x)，有x∈(-1,1)。
所以：t-1,t∈(-1,1)，即：t∈(0,1)。
所以，不等式的解为：0＜t＜1/2

http://zhidao.baidu.com/question/38885517.html?si=4

Answer 2

1， 用定义令f(-x)=-f(x)，则求a,得b=0,因为f(2)=2/5
，于是a=1
f(x)=x/(1+x2 )
2,分两步，一在（0，1）设x2<x1，这时，分母越来越小，分子越来越大，于是，整体是增加
二，在（-1,0），设x2<x1，这时，分母是越来越小，分子越大，于是，整体增加
于是，是增函数
三，解不等式f(t-1)+f(t)＜0
带入式子就可以算