设P是n阶可逆矩阵,B=P^(-1)AP-PAP^(-1),求B的特征值之和

Question

设P是n阶可逆矩阵,B=P^(-1)AP-PAP^(-1),求B的特征值之和，其中P^(-1)就是P的逆
设a=(a1,a2,……，an)T(T是转置的意思），b=(b1,b2,...,bn)T 满足aTb=1,求矩阵A=abT的特征值与特征向量
图中的4.5两题

Answer 1

4. 由于 P^-1AP , PAP^-1 都与A相似, 故与A的特征值相同
所以 tr(B) = tr(P^-1AP) - tr(PAP^-1) = tr(A) - tr(A) = 0

5. 这个麻烦
由 a^Tb=1 知 a,b 都是非零向量, 且 b^Ta = b^a = 1.
首先, 因为 Aa = ab^Ta = a(b^Ta) = a = 1a
所以 a 是 A 的属于特征值1 的特征向量.
再由 r(A) = 1 知 0 是A的 n-1 重特征值
不妨设 b1≠0, 则 Ax=0 的基础解系为
(-b2, b1,0,0....0)^T
(-b3, 0, b1,0,...,0)^T
......
(-bn,0,0,...,b1)^T
其非零线性组合即A的属于特征值0的全部特征向量追问

谢谢啦！我们老师相似什么的没有教，有没有比较基础的方法，应该也是可以做的，因为他布置了

追答

这个应该是学习相似和特征值特征向量后的习题, 参考第8题

Answer 2

4. 注意B的特征值的和就是trace(B)
5. a是一个特征向量，与b正交的非零向量也是特征向量，对应的特征值自己动手算追问

能不能再详细一点，B的迹怎么求，，具体一点，第二题也是，求大神帮助

追答

这点提示够了，接下去你自己想办法，做不出来从自身找原因

追问

那我就自己想办法，你也不能算是给我解答了问题，首先第一句话是废话，我也知道要这么求，就是不知道怎么求出来，第二句话么，我们正交什么的老师根本没有讲，你也不说具体，所以我也看不懂

Answer 3

YW姐姐 问题真棒！追答

楼上真不负责任。。

说得太好了！