矩阵的秩和它的可逆性有关系吗？

Question

如题所述

Answer 1

如Am*n矩阵，另一矩阵B:
1、A为满秩矩阵时，则r(AB)=r(BA)=r(B);
2、A为行满秩矩阵时，则r(BA)=r(B);
3、A为列满秩矩阵时，则r(AB)=r(B).

A为满秩矩阵
那么A是可逆方阵
一方面有 r(AB) <= r(B)
另一方面 r(B) = r(A^-1(AB)) <= r(AB)
所以 r(AB) = r(B).

A为列满秩矩阵时
考虑齐次线性方程组 ABX=0 与 BX = 0
因为 A为列满秩, 所以 A(BX)=0 则必有 BX=0. 故 它们同解。
秩相等。