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矩阵×可逆矩阵的秩
一个矩阵乘以
可逆矩阵
为什么
秩
不变
答:
可逆矩阵
可以表示为初等矩阵的乘积而初等变换不改变
矩阵的秩
所以, 用可逆矩阵A乘一矩阵B, 相当于对B作一系列的初等行变换所以AB的秩不变, 仍是B的秩。推导过程:r(AB)≤r(B)比如A可逆,所以 (1)r(AB)≤r(B)(2)r(B)=r(A的逆·AB)≤r(AB)∴ r(AB)=r(B)...
矩阵乘上一个
可逆矩阵
是不是
秩
不变?
答:
一个
矩阵
乘上一个
可逆矩阵
不改变它的秩是因为初等矩阵的乘积而初等变换不改变矩阵的秩所以,用可逆矩阵A乘一矩阵B,相当于对B作一系列的初等行变换所以AB的秩不变,仍是B的秩。推导过程:r(AB)≤r(B)比如A可逆,所以:r(AB)≤r(B)。r(B)=r(A的逆·AB)。≤r(AB)。∴r(AB)=r(B)。...
两个
可逆矩阵
相乘
的秩
相等吗?
答:
那么A是
可逆
方阵 一方面有 r(AB) <= r(B)另一方面 r(B) = r(A^-1(AB)) <= r(AB)所以 r(AB) = r(B).A为列满
秩矩阵
时 考虑齐次线性方程组 ABX=0 与 BX = 0 因为 A为列满秩, 所以 A(BX)=0 则必有 BX=0. 故 它们同解。秩相等。
一个矩阵乘上一个
可逆矩阵
它
的秩
是没有变化的对吗?
答:
对,乘
可逆矩阵
相当于做一系列初等变换,左乘相当于行变换,右乘相当于列变换,均不改变它的秩
矩阵秩的
性质
答:
B为
可逆阵
,则r(B)=3 而因为: 任何满秩
矩阵
都可以看成是对单位阵的初等变换而来(左乘,右乘)所以, B=PEQ 则:AB=A*PEQ=AP*EQ =APQ PQ是矩阵的初等变换后得到的 所以,r(AB)=2
矩阵可逆
,
秩
会不会改变?
答:
不会改变。做初等变换相当于改原矩阵乘以一个
可逆矩阵
,而乘可逆矩阵是不会改变其秩的。矩阵的行初等变换不改变
矩阵的秩
,且不改变列向量间的线性关系;矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系。即:矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。两个矩阵相等是指:1、两个对应矩阵要求同型(...
A是4*3的矩阵,列向量组线性无关,B为三阶
可逆矩阵
,则AB
的秩
是多少
答:
A 是 4*3 的矩阵,列向量组线性无关,则矩阵 A
的秩
为 3,即 rank (A)= 3.B为三阶
可逆矩阵
,乘以一个可逆矩阵不改变秩,所以,rank (AB)= rank (A)= 3,即 AB 秩为 3.
线性代数
矩阵的秩
答:
刚才解释有点问题,如果A为
可逆矩阵
,矩阵B左乘可逆矩阵A,实际上相当于对矩阵B作一次初等变换,而初等变换不改变
矩阵的秩
。所以r(AB)=r(B)
设A为n阶
可逆矩阵
,B为n×m矩阵,证明:
秩
(AB)=秩(B)
答:
因为 r(AB)<=min{r(A),r(B)},且A是
可逆矩阵
,,所以 r(B) = r(A^-1AB) <= r(AB),故r(AB) = r(B)。在线性代数中,一个矩阵A的列
秩
是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地,行秩是A的线性无关的横行的极大数目。通俗一点说,如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量,秩就是...
如何理解矩阵的秩与其
逆矩阵的秩
的关系?
答:
由定义直接可得n阶
可逆矩阵的秩
为n,通常又将可逆矩阵称为满
秩矩阵
, det(A)≠0;不满秩矩阵就是奇异矩阵,det(A)=0。由行列式的性质知,矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的,即rank(A)=rank(AT)。变化规律:(1)转置后秩不变 (2)r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩阵 (3)r(kA)=r(A)...
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