lim(x->0)(exp(1)-(1+x)^(1/x))/x
=lim(x->0)(exp(1)-exp(1)exp(ln(1+x)/x-1))/x
=lim(x->0)exp(1)(1-exp(ln(x+1)/x-1))/x
利用等价无穷小
=lim(x->0)exp(1)(-(ln(x+1)/x-1))/x
=lim(x->0)exp(1)(x-ln(x+1))/x^2
利用洛必达法则
=lim(x->0)exp(1)(1-1/(x+1))/(2x)
=lim(x->0)exp(1)/(2(x+1))
=exp(1)/2
遇到极限一般是用等价无穷小和洛必达法则,然后遇到指数一般用对数转化。
求极限基本方法有
1、分式中,分子分母同除以最高次,化无穷大为无穷小计算,无穷小直接以0代入;
2、无穷大根式减去无穷大根式时,分子有理化;
3、运用两个特别极限;
4、运用洛必达法则,但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大,或无穷小比无穷小,分子分母还必须是连续可导函数。
5、用Mclaurin(麦克劳琳)级数展开,而国内普遍误译为Taylor(泰勒)展开。
极限怎样算才能算出来?
极限是数学中的一个重要概念,它描述了一个函数在某一点附近的行为,或者是一个数列在无穷大或无穷小时的趋势。要计算极限,可以根据不同的情况选择不同的方法。以下是一些常见的计算极限的方法:
直接代入法:
如果函数在所求极限的点处有定义,并且在该点附近的行为是连续的,那么可以直接将所求极限的点代入函数,得到极限的值。例如,计算 lim_{x to 2} (x^2 - 4)/(x - 2) 时,可以直接代入 x = 2,得到极限值为 4。
因式分解法
对于某些复杂的函数,可以通过因式分解来简化计算。例如,计算 lim{x to 0} (1 - cos x)/x^2$时,可以先将分子进行因式分解,得到 lim{x to 0} (2sin^2(x/2))/x^2,然后利用三角函数的性质化简,最后得到极限值为 1/2。
洛必达法则
当函数在所求极限的点处不可导或不存在时,可以使用洛必达法则。该法则的基本思想是利用导数的定义和性质,将极限转化为导数的极限。例如,计算 lim_{x to 0} \sin x/x$时,可以直接应用洛必达法则,得到极限值为 1。
夹逼定理
当所求极限的函数在某个区间内被两个函数夹逼时,可以利用夹逼定理来计算极限。例如,计算 lim_{n to ∞} (1 + 1/n)^n时,可以利用夹逼定理,得到极限值为 e。
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除了以上方法外,还有泰勒公式、泰勒级数等方法可以用来计算极限。在实际应用中,需要根据具体情况选择合适的方法。