曲率半径最小值为多少？

Question

如题所述

Answer 1

y'=1/x(x>0)
y''=-1/x^2(x>0)
ρ=1/K，曲率半径ρ越小，曲率K越大
K=|y''/(1+y'^2)^(3/2)|=|-1/x^2/(1+1/x^2)^(3/2)|=x/(x^2+1)^(3/2),x>0
令dK/dx=[1*(x^2+1)^(3/2)-x*(3/2)*(x^2+1)^(1/2)*2x]/(x^2+1)^3=[(x^2+1)-3x^2]/(x^2+1)^(5/2)=(1-2x^2)/(x^2+1)^(5/2)=0，得1-2x^2=0，x^2=1/2，x=1/√2
在x=1/√2附近，x<1/√2时，dK/dx>0；x>1/√2时，dK/dx<0。所以x=1/√2为极大值点
x=1/√2时，K=(1/√2)/(1/2+1)^(3/2)=2/(3√3)
所以曲率半径最小值=1/K=(3√3)/2