琴生不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是高中数学中常见的不等式之一，其证明方法如下：
设a1, a2, …, an和b1, b2, …, bn为任意实数，则有：
(a1^2 + a2^2 + … + an^2)(b1^2 + b2^2 + … + bn^2)
≥ (a1b1 + a2b2 + … + anbn)^2
证明过程如下：
1. 当n=1时，不等式显然成立。
2. 假设当n=k时，不等式成立。即：
(a1^2 + a2^2 + … + ak^2)(b1^2 + b2^2 + … + bk^2)
≥ (a1b1 + a2b2 + … + akbk)^2
3. 当n=k+1时，我们需要证明：
(a1^2 + a2^2 + … + ak^2 + ak+1^2)(b1^2 + b2^2 + … + bk^2 + bk+1^2)
≥ (a1b1 + a2b2 + … + akbk + ak+1bk+1)^2
4. 将不等式右侧的平方展开，得到：
(a1b1 + a2b2 + … + akbk)^2 + 2ak+1bk+1(a1b1 + a2b2 + … + akbk) + ak+1^2bk+1^2
5. 根据假设，我们有：
(a1^2 + a2^2 + … + ak^2)(b1^2 + b2^2 + … + bk^2)
≥ (a1b1 + a2b2 + … + akbk)^2
6. 因此，不等式右侧的第一项是大于等于0的。
7. 对于不等式右侧的第二项，我们可以使用二次函数的性质来证明：
2ak+1bk+1(a1b1 + a2b2 + … + akbk) + ak+1^2bk+1^2
≤ 2√(ak+1^2 + bk+1^2)(a1^2 + a2^2 + … + ak^2 + b1^2 + b2^2 + … + bk^2)
≤ 2√[(a1^2 + a2^2 + … + ak^2 + ak+1^2)(b1^2 + b2^2 + … + bk^2 + bk+1^2)]
8. 因此，不等式右侧的第二项也是大于等于0的。
9. 综上所述，不等式成立。