线性代数，求一个齐次方程组基础解系，2X1+X2+2X3=0 他的自由变量选取是任意的吗？

Question

如题所述

Answer 1

2x1+x2+2x3=0,
其自由变量可任取，例如取 x2，x3 为自由未知量，得
2x1=-x2-2x3
取 x2=-2, x3=0, 得基础解系 (1，-2, 0)^T;
取 x2=0, x3=-1, 得基础解系 (1，0, -1)^T.
则方程的通解是
x= k1 (1，-2, 0)^T+k2 (1，0, -1)^T,
其中 k1, k2 为任意常数。

有的就不能随意取，例如方程组
2x1+3x2+2x3=0,
x3=0
第2个方程已确定 x3=0， x3就不再是自由未知量，
只能取 x1 或 x2 为自由未知量。
例如取 x2 为自由未知量，则
2x1=-3x2,
x3=0，
取 x2=-2, 得基础解系 (3，-2, 0)^T，
则方程组的通解是
x= k (3，-2, 0)^T,
其中 k 为任意常数。追问

如果我选x1和x3答案总是不对

追答

可以啊 ！
不要以为基础解系与前面解的或书上答案不同就是错误，
取不同的 k1，k2 总能化为一样的。

2x1+x2+2x3=0,
取 x1，x3 为自由未知量，得
x2=-2x2-2x3
取 x1=1, x3=0, 得基础解系 (1，-2, 0)^T;
取 x1=0, x3=1, 得基础解系 (0，-2, 1)^T.
则方程的通解是
x= c1 (1，-2, 0)^T+c2 (0，-2, 1)^T,
其中 c1, c2 为任意常数。
取 c1=k1+k2, c2=-k2 就会化为前面解的结果。

Answer 2

对于这个方程组，自由变量选取是任意的。追问

在什么情况下不任意？

追答

有事去了，sorry。

Answer 3

对任何的自由变量都是任意取的，但是要求取得向量是线性无关的追问

我能否选x1 x3作为自由变量？

追答

自由变量的值是任意取的，自由变量可不是的！！
阶梯型中首非零所在的列标是自由变量！
这个题自然自由变量是x2，x3，
你取x1，x3 有时间取得就不一定对的
按照阶梯型中首非零所在的列标取自由变量可以很轻松的保证线性无关，
只要取自由基的向量即可。